Трудовые затраты при производстве продукции

Лабораторная работа №6

МНОГОПРОДУКТОВЫЙ ПРОСТОЙ

ПРОИЗВОДСТВЕННЫЙ ОБЪЕКТ

Цель работы: изучение математической модели многопродуктового производственного объекта. Закрепление теоретического материала расчетом примеров определения возможностей объекта по выпуску продукции различного вида.

 

Требуется определить:

1. Количество изделий каждого вида Y_j, которое предприятие сможет выпустить, исходя из наличия компонент.

2. Необходимую численность персонала L_j для выпуска каждого вида изделий.

 

Исходные данные

Вариант 3

Компо-ненты	Изделия
А1	А2	А3	А4
a1
a2
a3
a4	1,1
a5

 

N1

N2

N3

N4

V10

V20

V30

V40

V50

L0

mL1

mL2

mL3

mL4

0,6

0,1

0,1

0,2

0,4

1,4

1,3

 

Метод решения

Задано:

n -количество видов изделий;

А_i – вид изделия;

аⁱ – нормы затрат на изготовление единицы каждого изделия;

N_j – доли выпуска каждого вида изделия в общем объеме выпуска;

V_i0 – ограничения на наличие компонент;

L₀ – ограничение на наличие персонала;

m_Lj – нормативы трудозатрат на изготовление изделия каждого вида.

 

Предприятие, выпускающее несколько видов продукции, называется многопродуктовым производственным объектом. Рассмотрим влияние на процесс производства двух факторов производства – материальных и трудовых затрат.

Материальные затраты на производство продукции

 

Предположим, что всего при производстве продукции используется m видов компонент aⁱ (i=1,2,...,m) и каждое изделие A_j состоит из различных компонент, которые обозначим через aⁱ_j, i = 1,2,...,m, j = 1,2,...,n. Здесь индекс j означает принадлежность компоненты aⁱ к продукции (изделию) вида A_j., а индекс i означает вид компоненты aⁱ_j (например, материалы, энергия или более конкретно, колесо, корпус машины и т.д.). Вообще говоря, необязательно, чтобы все виды компонент aⁱ_j входили во все виды изделий A_j.

Количество i-го компонента, используемого для изготовления единицы j-го вида выпускаемой продукции, обозначим через . Потребное количество в единицу времени компоненты aⁱ_j для выпуска продукции A_j в количестве Y_j обозначим через Тогда

(1)

 

Величина (компоненты затрат при производстве изделия A_j) для каждого фиксированного значения индекса j представляет собой вектор с пропорциональными компонентами, т.е.

(2)

Если ресурсы объекта не соответствуют пропорции (2), то выпуск определяется наличием наиболее дефицитного вида ресурса:

(3)

где – имеющиеся на объекте ресурсы i –го вида.

 

 

Трудовые затраты при производстве продукции

В зависимости от вида выпускаемых изделий, применяемой технологии и используемого оборудования требуется для производства продукции в количестве Y _j требуется соответствующее количество рабочей силы различных специальностей, которые образуют вектор с пропорциональными компонентами () при фиксированном j, т.е.

(4)

где - численность производственного персонала p-й специальности, занятой на производстве j- го изделия;

- норматив трудозатрат на единицу изделия A_j;

P_j - общее число различных специальностей, необходимых при изготовлении изделия A_j.

Обычно имеются ограничения на численность персонала

(5)

Общее количество персонала обозначим через L₀.

Если трудовые ресурсы объекта не соответствуют пропорции (4), то выпуск определяется наличием наиболее дефицитного вида ресурса:

где - имеющиеся на объекте людские ресурсы p-го вида.

 

РЕШЕНИЕ

Решим задачу определения возможностей многопродуктового производственного объекта по наличию материальных и трудовых ресурсов.

I. Определим количество изделий каждого вида Y_j, которое предприятие может выпустить, исходя из наличия компонент.

 

1. Для заданного количества компонент a_i (i=1,…,5) запишем систему неравенств

V₁=a₁¹y₁ + a₂¹y₂ + a₃¹y₃ + a₄¹y₄ ≤V₁₀

V₂=a₁²y₁ + a₂²y₂ + a₃²y₃ + a₄²y₄ ≤V₂₀

V₃=a₁³y₁ + a₂³y₂ + a₃³y₃ + a₄³y₄ ≤V₃₀ (6.1)

V₄=a₁⁴y₁ + a₂⁴y₂ + a₃⁴y₃ + a₄⁴y₄ ≤V₄₀

V₅=a₁⁵y₁ + a₂⁵y₂ + a₃⁵y₃ + a₄⁵y₄ ≤V₅₀

 

В систему уравнений (6.1) подставим y_j = N_jY получим

Y[a₁¹N₁ + a₂¹N₂ + a₃¹N₃ + a₄¹N₄] ≤V₁₀

Y[a₁²N₁ + a₂²N₂ + a₃²N₃ + a₄²N₄] ≤V₂₀

Y[a₁³N₁ + a₂³N₂ + a₃³N₃ + a₄³N₄] ≤V₃₀

Y[a₁⁴N₁ + a₂⁴N₂ + a₃⁴N₃ + a₄⁴N₄] ≤V₄₀

Y[a₁⁵N₁ + a₂⁵N₂ + a₃⁵N₃ + a₄⁵N₄] ≤V₅₀

 

Определим ограничение на суммарный выпуск продукции Y

Y₁[2*0,6+11*0,1+0*0,1+1*0,2] ≤ 31

Y₂[6*0,6+0*0,1+0*0,1+19*0,2] ≤ 15

Y₃[0*0,6+2*0,1+1*0,1+1*0,2] ≤ 18

Y₄[1,1*0,6+2*0,1+7*0,1+3*0,2] ≤ 40

Y₅[2*0,6+1*0,1+1*0,1+1*0,2] ≤ 19

 

2,5Y₁ ≤ 31

7,4Y₂ ≤ 15

0,5Y₃ ≤ 18

2,16Y₄ ≤ 40

1,6Y₅ ≤ 19

 

Y₁ ≤ 12,4

Y₂ ≤ 2,03

Y₃ ≤ 36

Y₄ ≤ 18,52

Y₅ ≤ 11,88

 

Выбираем наименьшее значение Y=Y_min = Y₂.

 

Для 4 видов изделий вычислим количество выпускаемой продукции y_j.

 

y₁=N₁*Y_min=0,6*2,03=1,20

y₂=N₂*Y_min=0,1*2,03=0,20

y₃=N₃*Y_min=0,1*2,03=0,20

y₄=N₄*Y_min=0,2*2,03=0,40

 

Дефицитной компонентой, которая ограничивает выпуск продукции, является V₂₀.

 

Расчет потребного количества компонент

Подставляем найденные значения y₁, y₂, y₃, y₄ в систему (6.1) и рассчитаем V_{потребное}.

 

V¹_{потребное} = 2*1,20+11*0,20+0*0,20+1*0,40=2,4+2,2+0+0,4=5

V²_{потребное} = 6*1,20+0*0,20+0*0,20+19*0,40=7,25+0+0+7,75=15

V³_{потребное} = 0*1,20+2*0,20+1*0,20+1*0,40=0+0,40+0,20+0,40=1

V⁴_{потребное} = 1,1*1,20+2*0,20+7*0,20+3*0,40=1,320+0,40+1,4+1,20=4,32

V⁵_{потребное} =2*1,20+1*0,20+1*0,20+1*0,40=2,40+0,20+0,20+0,40=3,20

 

Вычислим количество излишек по каждой компоненте:

 

V₁ =V₁₀-V¹_{потребное} = 31-5=26

V₂ =V₂₀-V²_{потребное} = 15-15=0

V₃ =V₃₀-V³_{потребное} =18-1=17

V₄ =V₄₀-V⁴_{потребное} = 40-4,32=35,68

V₅ =V₅₀-V⁵_{потребное} = 19-3,20=15.8

 

После производства каждого вида изделия на складе остаются компоненты a₁, a₂, a₃, a₄, которые можно продать, получив дополнительную прибыль.