Порядок выполнения работы. Задание 1. Отделение корней уравнения на отрезке [-3;3]

Задание 1. Отделение корней уравнения на отрезке [-3;3].

Для отделения корней можно построить график функции y= , задав шаг изменения аргумента, например, равным 1. График удобно строить, используя Мастер диаграмм.

Построение графика в Open Office.org Calc

1)мастер диаграмм;линии;далее

2)диапазон; данных; ввести числовые значения B3:H3;

переключатель: ряды данных в строке; далее

3)категории: ввести числовые значения B2:H2 далее

4)отображение сетки оси x; готово

5)ПК; правка: ось x; свойства объекта; линии: цвет синий; толщина

:0,1:

 

Графика функции с осью x

Значениями действительных корней уравнения являются точки пересечения графика функции с осью x. Из графика видно, что корни находятся на интервалах [-3;-2],[ 0;1] и [2;3].

Задание 2. Определение начального приближения x₀.

1. Найдем производные левой части уравнения f(x)=

f’(x)=3x²-8,

f”(x)=6x.

2. Проверим условие сохранения знаков производных на отрезке [-3;-2].

Первая производная меняет знак в точке,где она равна 0:

F’(x) = 3x²-8=0,

X=

Так как оба значения лежат вне отрезка [-3;-2], то первая производная не меняет знак. Найдем значение первой производной при x=-3

f’ (-3) = 3 (-3)² - 8 = 19 > 0

3. Следовательно, на отрезке [-3;-2] первая производная положительная, т.е. функция f(x)= монотонно возрастает. Вторая производная f’(x) = 6x на отрезке [-3;-2] всегда отрицательная, т.е. функция f(x)= выпукла вверх.

 

 

Проверим условие f(x₀)f”(x₀)>0

Для определения начального приближения x₀ для корня. Это условие означает, что в точке x₀ функция f(x) и ее вторая производная должны быть одного знака. Так как вторая производная всегда отрицательная, то значение функции f(x₀) должно быть то же отрицательным.

Значение функции f(x) при x=3 отрицательное: f(-3)=-1.

Поэтому в качестве начального приближения x₀ возьмем левый конец отрезка [-3;-2],т.е. x₀ = -3.

Задание 3. Найти приближенное значение корня с точностью Ɛ=0,0001.

1) Запишем формулу последовательных приближений (1), полагая в ней f(x)= , f’(x)=3x²-8,

Тогда

= -3

2) Заполните столбец A исходных данных в электронной таблице.

3) Вычислите ячейке B3 первое приближение x1 по формуле (1)

 

4) Вычислите в ячейке B4 абсолютную погрешность |x-x₀|

Так как абсолютная погрешность 0,0526 больше заданной точности Ɛ= 0,0001, то необходимо вычислить второе приближение по формуле.

5) Для вычисления приближения x2 и новой абсолютной погрешности |x₂-x₁|

Необходимо выделить ячейки B2:B4 и автозаполнением скопировать их в соответствующие ячейки столбца C.

6) Так как абсолютная погрешность |x₃-x₂|=9,23*10^-7

Меньше заданной точности Ɛ= 0,0001, то третье приближение

x₃=-2,946 можно принять за приближенное решение уравнения на отрезке [-3;-3].

 

Лабораторная работа 3.