Резонанс в последовательной RLC-цепи

На рисунке 3а представлена векторная диаграмма для рассматриваемой цепи, а на рисунке 3б - графики зависимостей IR и UR от времени. Так как фазы колебаний тока и напряжения одинаковы, направления соответ-ствующих векторов на векторной диаграмме совпадают.

 

 

Рис. 3а Рис. 3б

 

Индуктивность в цепи переменного тока (L -цепь)

 

Если через катушку индуктивности идет переменный ток

, (3)

то напряжение на ее выводах будет равно по величине, но противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, то есть

(4)

Сравнение выражений (3) и (4) показывает, что колебания напряжения на катушке индуктивности опережают по фазе на p/2 колебания тока в ней. На векторной диаграмме (рис. 4а) вектор, изображающий колебания напря-жения, повернут относительно вектора тока на угол p/2 в положительном направлении (против часовой стрелки). На рис. 4б это отражено в сдвиге кривой напряжения относительно кривой тока влево на четверть периода.

IL

t

U0L=I0LwL

 

Рис. 4а Рис. 4б

Сопротивление катушки индуктивности, определяемое как отношение амплитудных значений напряжения и тока линейно растет с увеличением

частоты . (5)

 

Емкость в цепи переменного тока (C -цепь)

 

Если в цепи, содержащей конденсатор, идет переменный ток

, (6)

то происходит периодическая перезарядка конденсатора. По определению I = dq/dt, следовательно

. (7)

При этом напряжение на конденсаторе

. (8)

Сравнение (6) и (8) показывает, что колебания напряжения на конден-саторе отстают по фазе на p /2 от колебаний тока (см. рис. 5а и 5б).

Сопротивление конденсатора уменьшается при увеличении частоты.

(9)

		Рис. 5а

 

RLC-цепь

Анализ цепи, состоящей из последовательно соединенных резистора, катушки индуктивности и конденсатора (рис.6), проведем с помощью век-

 

 

Рис.6

торной диаграммы.

В последовательной цепи ток I во всех элементах одинаков. Представим его вектором с модулем равным I ₀, расположенным горизонтально (рис. 7).Напряжение на резисторе U_R сов-падает по фазе с током в цепи (см. рис. 3), поэтому соответствующий вектор также направим горизон-тально, его модуль будет равен

U_{R 0} = I ₀ R. Напряжение на катушке индуктивности U_L опережает ток в ней на p/2 (см. рис. 4), поэтому соответствующий вектор (с моду-лем равным U_{L 0} = I ₀ wL) направим вертикально вверх. Напряжение на конденсаторе U_C отстает от тока в нем на p/2 (см. рис. 5), поэтому соответствующий вектор (с моду-лем равным U_{C 0} = I ₀/ wC) направим вертикально вниз.

Из векторной диаграммы опре-делим общее напряжение U на концах RLC -цепи, общее сопротивление цепи Z, сдвиг фаз между этим напряжением и током в цепи I.

Общее напряжение на концах цепи U изображается вектором, равным сумме векторов, изображающих напряжения U_R, U_L и U_C. Используя известные правила сложения векторов, получим для модуля результи-рующего вектора (амплитуды общего напряжения) следующее выражение

. (10)

Выражение (10) представляет собой закон Ома для последовательной RLC -цепи. Из этой формулы следует, что общее сопротивление Z такой цепи равно:

. (11)

Сдвиг фаз между напряжением на концах цепи и током в ней равен углу j между векторами, изображающими соответствующие величины. Вели-чину этого угла можно определить из следующего выражения

. (12)

Резонанс в последовательной RLC-цепи

 

Так как сопротивления конденсатора и катушки индуктивности зависят от частоты колебаний тока в цепи, то и полное сопротивление Z также будет изменяться при изменении w.

Если w = 0, то R _C = 1/ wC = ¥ и, следовательно, Z = ¥, а ток в цепи равен нулю. Действительно, постоянный ток не проходит через конденсатор, между пластинами которого располагается диэлектрик. С увеличением w сопротивление Z уменьшается и принимает минимальное значение Z_min = R при частоте w _о, определяемой условием

, (13)

Откуда

. (14)

При дальнейшем увеличении частоты сопротивление Z вновь будет увеличиваться, а амплитуда тока - уменьшаться, асимптотически прибли-жаясь к нулю при w ® ¥ (рис. 8).

Частота w _о называется резонансной частотой. При w = w _о амплитудное значение тока в цепи достигает максимального значения

. (15)

Напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе в этот момент равны по величине:

(16)

. (17)

Величина ρ= называется волновым сопротивлением, а величина Q= ρ/R – добротностью RLC-цепи. Если ρ>R, то в момент резонанса ампли-туды напряжений на индуктивности и емкости превышают амплитуду общего напряжения, приложенного к RLC -цепи U_o. Однако, как видно из векторной диаграммы (рис. 7), в момент резонанса фазы колебаний напряжения на емкости и индуктивности противоположны и сумма этих напряжений равна нулю. Напряжение на резисторе при этом равно общему напряжению, приложенному к RLC -цепи

. (18)