Погрешности прямых измерений

А. Случайные погрешности. При выполнении лабораторных работ, если истинное значение измеряемой величины неизвестно, за истинное значение принимают среднее значение величины:

, (5)

где n - число измерений, X_i – результат i – ого измерения, - среднее значение измеряемой величины.

Доверительной погрешностью DХ_гр называется верхняя (+DХ_гр) и нижняя (- DХ_гр) границы интервала, в пределах которого погрешность содержится с заданной вероятностью Р. Вероятность Р того, что измеряемая величина содержится в интервале (X + DХ_гр, X - DХ_гр) называется доверительной вероятностью. Доверительная вероятность (например Р=0,9) говорит о том, что при большом числе измерений 90% результатов попадет именно в этот интервал. При выполнении лабораторных работ граничную погрешность следует рассчитывать по формуле:

DХ_гр = t_пр s_x (6)

где s_x – среднеквадратичное отклонение результатов измерения, а t_пр – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений и доверительной вероятности. При выполнении лабораторных студенты выполняют небольшое число измерений (обычно 3 измерения). Для трех измерений и доверительной вероятности, равной 0,9 (такое значение обычно принимается при лабораторных измерениях), коэффициент Стьюдента равен 2,9. Среднеквадратичное отклонение рассчитывается по формуле:

s_x = , (7)

где n - число измерений, X_i – результат i – ого измерения, - среднее значение измеряемой величины. Величина s_x² характеризует разброс случайных величин и называется дисперсией (рассеянием).

Б. Систематические погрешности. При работе в физической лаборатории следует учитывать как случайные, так и систематические погрешности. Имея в виду наиболее характерные источники систематических погрешностей, различают следующие составляющие общей погрешности:

1. Погрешность прибора DХ_пр. Суммарная предельная погрешность прибора DХ_пр обычно указывается в паспорте прибора или наносится на его шкалу. Иногда на шкале прибора указан его класс точности d = 100 × DХ_пр ¤ Х_N, где Х_N - максимальное деление шкалы прибора. В этом случае погрешность прибора равна DХ_пр = d × Х_N ¤ 100. Например, класс точности миллиамперметра 0,5, максимальное деление шкалы – 250 мА, тогда DХ_пр = 0,5×250/100 = 1,25 мА. Предельная погрешность 1,25 мА постоянна по всей шкале прибора. Величина DХ_пр определяет верхнюю и нижнюю границы возможной погрешности при измерениях. Оценка дисперсии погрешности прибора может быть получена способом рандомизации. Сущность рандомизации заключается в следующем. В различных приборах данного вида и класса точности погрешность, не превышая величины DХ_пр , может быть различной. Это позволяет, рассматривая всю совокупность приборов, учитывать систематическую погрешность как случайную. Оценка дисперсии в этом случае может быть определена по формуле:

(8)

В рассматриваемом ранее примере дисперсия приборной погрешности равна

мА.

2. Погрешность округления DХ_о. При измерениях стрелочными приборами стрелка может оказаться между двумя значениями шкалы прибора. В этом случае показание прибора округляют в большую или меньшую сторону. Используя метод рандомизации, стандартную дисперсию погрешности округления рассчитывают по формуле:

, (9)

где w - доля деления, по которой производится округление. Например, цена деления миллиамперметра 5 мА, а округление происходит в пределах половины цены деления. Дисперсия при этом равна s_о = 2,5 /√12=0,36 мА. Цифровые приборы проводят округление до единицы последней значащей цифры. Это значение и следует подставлять в формулу (9).

3. Погрешность вычислений. В процессе математической обработки результатов измерений вычисления ведутся с приближенными числами, так как результаты измерений – приближенные числа. Появляются дополнительные погрешности, связанные с такими вычислениями. Проводя вычисления с приближенными числами, необходимо помнить несколько простых правил. Обычно считают, что погрешность приближенного числа не превышает половины единицы последней значащей цифры. Так записывая число 1,23, мы полагаем, что погрешность этого значения не превышает 0,005. Эту величину можно принять за ошибку s_в = 0,005. Результат выполнения арифметических операций (сложения, вычитания, умножения и деления) не может содержать больше верных значащих цифр, чем содержит их любое число, участвующее в операциях. Например, при сложении двух приближенных чисел 3,14 +24 мы получаем 27, а не 27,14. При умножении 3,14 на 24 мы получим 75, а не 75,36, поскольку погрешность приближенного числа 24 не превышает 0,5. При вычислениях или записи результатов измерения не следует записывать все значащие цифры, а нужно руководствоваться изложенными выше правилами и здравым смыслом.

4. Методические погрешности. Методические погрешности связаны с особенностями методики измерения. Для их исключения, как правило, нужно проводить дополнительные измерения или вычисления. Иногда используют метод компенсации, проводя измерения так, что погрешность входит в результат сначала с одним знаком, а затем с другим. При усреднении эти погрешности компенсируют друг друга. В том случае, если методические погрешности неизвестны, или компенсируют друг друга при выполнении лабораторных работ их можно не учитывать.

5. Промахи. В случае резких нарушений условий, в которых проводятся измерения, могут появиться промахи, т. е. большие искажения измеряемой величины. Например, невнимательный студент записал вместо одного числа другое и т. д. Результаты, содержащие грубые погрешности, должны быть отброшены.

Суммарную систематическую погрешность рассчитывают по формуле

, (10)

а полуширину интервала Δ _с для систематических погрешностей по формуле:

(11)

Здесь γ_а – множитель, зависящий от коэффициента доверия а. Для лабораторных работ коэффициент доверия а=0,9, а γ_а = 3,2.

 

Косвенные измерения

При косвенных измерениях значение искомой величины рассчитывается по некоторому уравнению вида:

, (12)

где Х₁, Х₂, ∙∙∙ Х_n – величины, получаемые путем прямых измерений, или постоянные величины. Поэтому для каждого аргумента функции (12) следует рассчитать среднее нескольких измерений , где k=1,··· n, среднеквадратичное отклонение s_xк по формуле (7) и суммарную систематическую погрешность по формуле (10). Далее следует вычислить среднее значение функции по средним значениям аргументов:

(13)

Это значение можно принять за истинное значение измеряемой путем косвенных измерений величины.

Среднеквадратичное отклонение для случайных погрешностей измерения величины Z можно оценить по соотношению (14).

(14)

Здесь: - частная производная функции по аргументу Х_к , s_xк - среднеквадратичное отклонение аргумента Х_к , рассчитываемое по формуле (7).

Стандартное отклонение для систематической погрешности величины Z рассчитывается по формуле (15):

, (15)

где - суммарная систематическая погрешность аргумента Х_к , рассчитываемая по формуле (10). Задается коэффициент доверия а=0,9 и вычисляется полуширина интервала для систематических погрешностей:

, (16)

где γ_а = 3,2 для коэффициента доверия а=0,9.

Результат косвенных измерений записывается в виде:

,

среднеквадратичное отклонение для случайных погрешностей , стандартное отклонение для систематической погрешности

 

Совместные измерения

Рассмотрим случай, когда непосредственно измеряются величины Х_к и Y_к

(к = 1,2 … n), связанные друг с другом некоторым соотношением. Погрешности величин Х_к и Y_к можно оценить, используя приведенные выше формулы. Обработку таких измерений рекомендуется проводить графическим способом. Для этого строится график зависимости Y = f(X), на который наносятся измеренные значения Х_к и Y_к и их погрешности (смотри рис. 1п).

Рис. 1п

Вертикальные и горизонтальные отрезки, расположенные на экспериментальных значениях Х_к и Y_к, соответствуют погрешности этих величин, равной 5%. Затем через точки графика проводится плавная линия, так чтобы она наилучшим образом приближалась к опытным значениям, не выходя за пределы погрешностей. Вид сглаживающей линии можно установить из теоретических соображений, выбирая соответствующим образом координатные оси (при выполнении лабораторных работ в основном это прямая линия). Некоторые точки все-таки иногда не попадают на сглаживающую линию. Возможно, это промахи, их следует исключить из рассмотрения. Точка Х_к = 7 и Y_к =78 на графике (рис. 1п) – это промах, ее следует исключить из протокола измерений.

 

 

Приложение 1

Можно рекомендовать следующую примерную схему оформления отчета:

1. Оформление вводной части

а. Указать номер и название лабораторной работы,

б. Нарисовать схему или рисунок, поясняющий идею применяемого метода

измерения,

в. В нескольких предложениях сформулировать идею метода и привести

основные расчетные соотношения, указать названия величин, которые

встречаются в формулах,

г. Указать название, диапазон измерения, цену деления и класс точности

используемых приборов.

2. Результаты измерений

а. В описании каждой лабораторной работы приведены образцы таблиц для

записи результатов измерений и расчетов. Результаты измерений при

выполнении лабораторной работы следует записывать в заранее

подготовленные для этого таблицы.

Б. Если в лабораторной задаче расчеты выполняются на калькуляторе или на

ЭВМ следует в таблицу записывать не все значащие цифры, а

руководствоваться правилами вычисления с приближенными числами

(см. Введение раздел Погрешности вычислений).

В. Если в лабораторной задаче выполняются прямые или косвенные

измерения, то погрешность измеряемой величины следует рассчитывать в

соответствии с рекомендациями, изложенными в разделе «Введение».

Г. При совместных измерениях результаты представляются в виде графика.

На график наносятся в виде точек значения измеряемых величин Х и Y,

как показано на рис. 1п. Затем указываются погрешности одной или обоих

переменных в виде отрезков длиной в одно стандартное отклонение.

Гладкие кривые проводятся с помощью линейки или лекала так, чтобы они

лежали в пределах погрешности экспериментальных значений (смотри

рис 1п введения).

Д. Результаты измерений и расчетов заносятся в таблицы только карандашом

с тем, чтобы после их проверки преподавателем можно было исправить

допущенные ошибки, не переделывая заново всю таблицу.

3. Итоговые результаты и выводы

а. В третьей части отчета следует записать окончательный результат, привести

интервал значений, в котором с указанной вероятностью может находиться

измеряемая величина, и сделать необходимые выводы.

Б. Лабораторная работа считается выполненной после защиты студентом

полученных результатов. При защите рекомендуется ответить

преподавателю на следующие вопросы:

1. Какое физическое явление вы изучали и каким законам оно подчиняется?

2. Как устроен и как действует прибор, используемый для изучения этого

явления?

3. Выведите или приведите расчетную формулу, с помощью которой

 

получен окончательный результат.

 

4. Дайте обоснование полученного результата или графических

зависимостей данной работы.

5. Дайте обоснование рассчитанной вами погрешности результатов

измерения.

6. Какие выводы вы могли бы сделать на основании проведенных

измерений?

 

 

Литература.

 

1. И.В. Савельев. Курс общей физики. Т. 1, М.; Наука, 1998.

2. Д.В. Сивухин. Общий курс физики. Т.1, М.; Наука.

3. А.Н. Матвеев. Механика. М.; Высшая школа.

4. Ч. Киттель, У. Найт, М. Рудерман. Механика. БКФ т. 1, М.; Наука, 1971

5. И.Е. Иродов. Механика. Основные законы. М.; Физматлит, 2000.

6. Б.С. Беликов и И.И. Семенов (под ред.). Лабораторные работы: Механика, Колебания и волны. М.: МАИ.

7. А.Н. Матвеев, Д.Ф, Киселев. Общий физический практикум. Механика. Изд-во МГУ, 1991.

 

Лабораторная работа № 1