. .
-: =R. )
( : )
, x>0, sinx>0, sinx,
:
-:
1.
2.
3.
4.
,
35(10)
11. . , .
- f(x) . x0 , - = f(x0). x→x0-0 lim f(x)=f(x0-0)=f(x0). . - , . x0, . x0. : f(x0-0)= f(x0+0)=f(x0). , - .x0, x→x0 lim f(x)= f(x0). x - y=f(x): ∆x→0 lim ∆y=0. - .
f (x, y) (0, 0), , (0, 0) f (x, y) :
Δu = f (x, y) (x, y), Δ, Δ Δu = f ( + Δ, + Δ) f (x, y) f(x, y): f (x, y),
, - .
37(12) , .
f(x) , , . , . . , . , . 0 f(x), f(x) 0 . 0 1- , f(x) , . 1 . 1 0 2 , f(x) .
.
(, ) . ƒ(;) ( ). z = ƒ (; ) (;) : z=ƒ(;) :
|
|
. (;) D. , . :
3-, 4- . . .
, .. , ,
.
z=ƒ(;).
.( ). z = ƒ(;) z'x z'y (;), (44.5)., =ƒ() ƒ'() . z=ƒ(;) , , , , . ( ) .
38(13)
| |
1: ( ( (1815-1897) - )). , , , .. - . , , , , , , . 2: , , . .. , , . ( - ). . 3: ( - ). , , . 4: , , . 5: ( (1781-1848) - ). - , , . .. , . . , , , . , , , . 6: ( (1845-1918) - ). , , . ( , .) 7: , , , . |
|
|
,
, , , . .
1 . , , . , .
. 2.8, 2.9, 2.10 2.5.
3.3 , . , :
. , -- pp ( ); p p pp p . p pp .
2 , , . , . .
. , , . ,
( ). ,
, .
, , , :
3 () . , , (. ) . , (p) .
4 () , . (. ) .
14. . . . .
, : ∆y=f(x+∆x)-f(x) (1). ∆y ∆, . . .. ∆y=∆y(x;∆x). ∆<ε (1) ∆y=dy+0(|∆x|) (2), dy= dy(x;∆x). 0(|∆x|) ∆x, .. |∆x|→0 lim 0(|∆x|)/|∆x|=0. dy . , . , .. (2), . . . : 1) y=f(x): R→R; 2) - y=f(x1,x2xn): Rn→R; 3) - y=f( )(x): R→ Rn.
∆x a*∆x, ∆xϵR, aϵR; a . . dy=a(x)∆x (5). (2) ∆y= a(x)∆x+0(∆x). ∆x ( ∆x→0) lim ∆y/∆x=lim a(x) + lim 0(∆x)/ ∆x; y′=a(x); , a(x) - f(x), (5) dy=f ′(x)∆x. - y=x y′=x′=1, dx=∆x, => dy=f ′(x)dx - . , f ′(x)= dy/ dx, .. - y=f(x) - .
|
|
41(16)
.
u = F (x), D. − . 1 . , F (x) 1
.
.
1. , , .
2. , , , .
, .
.
. , , , : , (, , ):
,
, (.. ), . ( ) :
,
, , ,
17. .
, - y=y(x) F(x,y)=0 (1). - : Fx′(x,y)=0x′; ( F/ x)+( F/ y)(d y/ d x)=0; d y/ d x=-( F/ x)/( F/ y), F/y≠0.
- . z=z(x,y), F(x,y,z)=0. , x y: ( F/ x)+ ( F/ z)(d z/ d x)=0; F/ x≠0; d z/ d x=-( F/ x)/( F/ z). , d z/ d y=-( F/ y)/( F/ z).
18. 1 .
- 2 Z=f(x,y) , - ðz/ðx=fₓ(x,y) ðz/ðy=fy(x,y)
(d2z = d(dz). :
: :
,
, , z = ƒ(;) . z = ƒ(;) (;) D = x(t) = y(t) t, z(t) = f(x(t);y(t))
, (z) (u v) (z) ( ) (u v).
|
|
44(19)
, , , , . , , : :
:
; . . .
, , , .
, .
, . , , , , , .
, , : ( ) ;
, , , ,