Условие перпендикулярности векторов

Билет № 1

1. Теорема 13 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Приведем два свойства параллельных плоскостей.

Теорема 14. Если две параллельные плоскости и пересечены третьей плоскостью , то прямые l= и m= их пересечения параллельны.

Доказательство. Имеем || , =l, =m; прямые l и m не пересекаются, иначе точка их пересечения была бы общей для параллельных плоскостей и , и принадлежат одной плоскости , следовательно, l||m, ч.т.д.

Теорема 15. Отрезки параллельных прямых AB и CD, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

2. Определение. Геометрическая фигура, ограниченная поверхностью, составленной из многоугольников, называется многогранником. Сама ограничивающая фигуру поверхность также называется многогранником.

Составляющие многогранник многоугольники называются гранями, их стороны - ребрами, концы ребер - вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника.

Правильным многогранником называется такой многогранник, у которого все грани равны и представляют собой равные правильные многоугольники, все ребра и все вершины также равны между собой. В то время, как правильных многоугольников существует сколько угодно, правильных многогранников ограниченное число.

Билет № 2.

1. Вопрос

Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.

Если функция интегрируема на [ a; b ], то она интегрируема на любом отрезке
Для любых a, b и c

Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f (x) и g (x) и любой постоянной A

Вопрос

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. Боковая площадь поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле:

Билет № 3.

1. вопроос

3. Вопрос Плоскости, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Билет № 4

1. Определённый интеграл. Рассмотрим другой способ вычисления площади криволинейной трапеции. Разделим отрезок [ a, b ] на n отрезков равной длины точками:

x ₀ = a < x ₁< x ₂< x ₃<…< x _n _-₁< x_n = b

и пусть = (b – a) / n = x_k - x_k_- ₁, где k = 1, 2, …, n – 1, n.

В каждом из отрезков [ x_k_- ₁, x_k ] как на основании построим прямоугольник высотой f (x_k _{- 1}). Площадь этого прямоугольника равна:

Ввиду непрерывности функции f (x) объединение построенных прямоугольников при большом n (т.e. при малом "почти совпадает" с нашей криволинейной трапецией). Поэтому, S_n S при больших значениях n. Это значит, что S_n S при n . Этот предел называется интегралом функции f (x) от a до b или определённым интегралом:

Числа a и b называются пределами интегрирования, f (x) dx – подынтегральным выражением.

Итак, если f (x) 0 на отрезке [ a, b ], то площадь S соответствующей криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

Формула Ньютона - Лейбница. Сравнивая две формулы для площади криволинейной трапеции, приходим к следующему заключению: если F (x) - первообразная функции f (x) на отрезке [ a, b ], то

Вопрос

Билет №.5

1вопрос. Если угол между векторами равен 90 градусов, то вектора называются перпендикулярными.

Условие перпендикулярности векторов

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Даны два вектора a (xa; ya) и b (xb; yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.