Пример выполнения задания № 3

Рассмотрим выполнение данного задания для следующих точек.

x	0.1
y	20.2	7.84	5.94	4.01	3.77	4.23	3.38	3.03	3.04	3.15

В качестве видов аппроксимации будем использовать:

ª полином 3-й степени;

ª степенную функцию.

Решим все поставленные задачи с использованием Mathcad.

1. Проведем кусочно-линейную интерполяцию для заданных точек (x_i,y_i) и определяем значение функции для указанных значений аргумента (рис. 10):

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	7.27	4.782	3.954	3.465	3.031	3.123

2. Проведем полиномиальную интерполяцию. Учитывая, что задано 10 точек, то полином должен быть 9-й степени. В результате получили полином, представленный на рис. 11. Построим его график, на котором отметим исходные точки (рис. 11). По графику можно убедиться, что полином проходит через все заданные точки.

3. С помощью полученного полинома определим для заданных точек значение функции (рис. 11):

x	1.3	2.6	4.4	5.9	7.1	8.75
y	7.084	4.698	4.046	3.493	3.088	1.699

 

Рис. 10. Кусочно-линейная интерполяция в Mathcad.

 

Рис. 11. Полиномиальная интерполяция в Mathcad.

 

4. Проведем с помощью Mathcad аппроксимацию для заданных точек с помощью полинома 3-й степени и степенной функции (рис. 12). Определим сумму квадратов отклонений для узловых точек (рис. 12):

ª Для полинома 3-й степени эта величина равна 19,29.

ª Для степенной функции эта величина равна 1,036.

Можно сделать вывод, что с помощью степенной функции мы получаем более точное приближение.

Рис. 12. Аппроксимация точек в Mathcad.

 

5. Построим на одной координатной плоскости графики аппроксимирующих функций (рис. 13).

6. Проведем аппроксимацию точек с помощью Excel. Для этого сначала заполним исходную таблицу точек и отметим эти точки на координатной плоскости (рис. 14).

7. Вызовем контекстное меню для одной из точек на графики и выберем пункт «Добавить линию тренда…». Для начала проведем аппроксимацию с помощью полинома 3-й степени. Для этого в открывшемся диалоговом окне «Линия тренда» выберем «Полиномиальная» и укажем степень «3» (рис. 15).

 

Рис. 13. Графики аппроксимирующих функций.

 

Рис. 14. Исходные точки для аппроксимации на координатной плоскости.

 

8. Аналогично добавил линию тренда на основе степенной функции. В настройках линий тренда выставим галочку «показывать уравнение на диаграмме». Результат представлен на рис. 16. Получили следующие аппроксимирующие функции.

ª Для полинома 3-й степени: .

ª Для степенной функции: .

Рис. 15. Добавление на график аппроксимирующей линии (линии тренда).

 

Рис. 16. Получение графиков функций аппроксимации.

 

9. Определим сумму квадратов отклонений для полученных функций в узловых точках (рис. 17). Получим:

ª Для полинома 3-й степени эта величина равна 21,091.

ª Для степенной функции эта величина равна 1,173.

Рис. 17. Расчет в Excel суммы квадратов отклонений для аппроксимирующих функций.

Задание № 4.

Найти экстремум функции двух переменных в Excel и Mathcad. Построить график двухмерной поверхности в Excel и Mathcad. Сравнить результаты и сделать выводы. Варианты задания приведены в прил.4.