Розділ 4 Статистичні методи виявлення наявності кореляційних звязків

У багатовимірних динамічних рядах кореляційні звязки слід вивчати в такій послідовності:

4.1 Встановити за допомогою кореляційного поля характер звязку між факторною і результативними ознаками

4.2 Перевірити наявність автокореляції у багатовимірних динамічних рядах

4.3 У разі її виявлення усунути автокореляцію. Побудувати регресійну модель

4.4 Дати економічну інтерпретацію цієї моделі.

Алгоритм розрахунку факторної та результативної ознак для проведення кореляційно-регресійного аналізу наведено в таблиці Д1.

Для попереднього виявлення наявності звязку між факторною і результативними ознаками, а також для вибору форми звязку застосовують графічний метод.

Автокореляція – це залежність наступних рівнів динамічного ряду від попередніх. Наявність автокореляції порушує одну з передумов регресійного аналізу – незалежність спостережень і приводить до викривлення його результатів.

З метою виявлення присутності чи відсутності автокореляції визначаємо значення коефіцієнтів автокореляції в рядах х та у та порівняємо їх з критичними значеннями.

Коефіцієнт автокореляції обчислюємо за формулою:

для ряду х:

Для ряду у:

Існує декілька методів усунення автокореляції. Одним з таких методів є метод введення змінної величини в рівняння регресії, де вона виконує роль фактора часу. В цьому випадку рівняння регресії матиме вигляд:

де - параметр, який характеризує середній приріст результативної ознаки на одиницю приросту факторної ознаки ;

- середній щорічний приріст під впливом зміни комплексу факторів, крім .

Для визначення цих параметрів складають систему нормальних рівнянь, яку розв’язують методом підстановок або Крамера.

Розв’язок системи спрощується, якщо відлік часу беруть з середини динамічного ряду, тоді .

Якщо в такий спосіб автокореляцію усунуто, то залишкові величини повинні бути між собою незалежними:

Цю гіпотезу перевіряють за допомогою коефіцієнта автокореляції залишкових величин, який обчислюють з певним часовим зсувом (лагом). При р=1 коефіцієнт автокореляції обчислюють за формулою:

Коефіцієнт приймає значення в межах від -1 до1.

Фактичне значення коефіцієнта автокореляції порівнюємо з критичним, яке беруть в таблицях математичної статистики. Якщо критичне значення автокореляції більше за фактичне, то це дає підстави стверджувати, що автокореляція залишкових величин неістотна. Отже автокореляція в рядах х, цим способом усунуто і побудовану кореляційну модель можна вважати адекватною.

Дослідимо кореляційну залежність між зростанням коефіцієнта оборотності виробничих запасів і рентабельність продукції.

Коефіцієнт оборотності виробничих запасів = ;

Рентабельність продукції =

Дані про показники наведені в таблиці 4.2

Таблиця 4.2

Роки	Доход	Середня вартість виробничих запасів	Валовий прибуток	Собівартість продукції	Коефіцієнт оборотності виробничих запасів	Рентабель-ність продукції
	1710,7	144,85		1437,7	11,81
	2112,8	73,85	253,2	1859,6	28,6	13,6
	3179,9	78,25	453,6	2725,63	40,6	16,6

Факторною ознакою буде коефіцієнт оборотності виробничих запасів, результативною – рентабельність продукції.

Побудуємо кореляційне поле.

Рисунок 4.1 - Кореляційне поле.

Описуємо зв'язок лінійним рівнянням регресії.

Усуваємо автокореляцію шляхом введення додаткової змінної t в рівняння регресії, яке в цьому випадку буде мати вигляд:

Y = a₀ +a₁x +a₂t

Параметри даної функції визначаємо за методом найменших квадратів з системи нормальних рівнянь

Всі необхідні розрахунки проводимо в таблиці 4.3

Таблиця 4.3

t²

x²

уt

хt

-1

11,81

139,5

-19

-11,81

224,39

13,6

28,6

817,9

388,9

16,6

40,6

1648,4

16,6

40,6

673,96

Σt=0

49,2

2605,8

-2,4

28,79

1287,35

Систему рівнянь можна розв’язати за методом Крамера або методом підстановок.

Розв’язання системи рівнянь методом Крамера:

Δ= =

Δ₀= =

Δ₁= =

Δ₂= =

a₀= ;

a₁=

a₂ =

Розв’язання системи рівнянь методом підстановок.

; ;

Тоді отримаємо вираз:

, тоді ,

Рівняння регресії матиме вигляд:

Визначаємо теоретичні рівні:

Перевіряємо чи залишкові величини є незалежними. Розрахунки приведенні в таблиці 4.4.

Таблиця 4.4 - Розрахунок коефіцієнта автокореляції

	у	х	Y(t)	ε_t	ε_t+1	ε_t ε_t+1	ε_t²
-1		11,81	18,8	0,2	-0,08	-0,016	0,04
	13,6	28,6	13,68	-0,08	0,28	-0,022	0,064
	16,6	40,6	16,32	0,28	0,2	0,056	0,078

Коефіцієнт автокореляції

Отже при дослідженні кореляційної залежності між коефіцієнтом оборотності виробничих запасів та рентабельністю продукції виявлено прямий кореляційний зв'язок. Для усунення автокореляції було введено змінну t. Так, як =0,098 є меншим за табличне значення 0,253 це значить, що автокореляція усунено.

Висновки

Аналіз рядів розподілу працівників за розміром заробітної плати показав, що середня заробітна плата становить 475,3 грн. Найчастіше на підприємстві зустрічається заробітна плата 340,4 грн., половина працівників отримують зарплату до 421,4 грн., а решта працівників – більше 421,4 грн.

З ймовірністю 95% можна стверджувати що емпіричний розподіл працівників за рівнем заробітної плати не підлягає нормальному закону.

Протягом трьох років прибуток від звичайної діяльності мав тенденцію до зростання. Прибуток від звичайної діяльності щорічно збільшується в абсолютному виразі в середньому на 55 тис.грн., у відносному виразі це збільшення складало 35 %.

Побудова трендового рівняння дало змогу ймовірністю 0,95 стверджувати, що в 2005 році прибуток від звичайної діяльності буде неменший 155,22 тис.грн. і не більший 409,58 тис.грн.

Було використано індексний метод для аналізу впливу ціни на сировину, питомих витрат та кількості продукції на величину витрат на матеріали. За рахунок збільшення ціни на сировину в 1,5 рази збільшуються витрати на матеріали на 412254 грн., а зменшення питомої ваги на 13,4% зменшили витрати на матеріали на 132934,76 грн., а за рахунок збільшення кількості продукції витрати на матеріали збільшилися на 122020,6 грн. Найбільш суттєво вплинуло зростання цін на збільшення матеріальних витрат.

При досліджені кореляційної залежності між коефіцієнтом оборотності виробничих запасів та рентабельністю продукції виявлено прямий кореляційний зв’язок. Для усунення автокореляції в рівняння регресії було введено зміну t, так, як r =0,098, а табличне значення для додатних величин 0,253 то автокореляція усунена.

Зростання коефіцієнта оборотності виробничих запасів на 1оберт призводить до зниження рентабельності в середньому на 1,63 %, а за рахунок впливу інших факторів рентабельність щорічно зростає на 22,2%.

Таблиця А.1 - Функція нормального розподілу F_x

z

0,0	0,500
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6

Продовження таблиці А.1


2,7
2,8
2,9
3,0

Таблиця Б.1 - Значення критерію Пірсона в залежності від ймовірності і числа ступенів вільності

Число степенів вільності k	Ймовірності Р (х >х q)
0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30

	1,64	2,7	3,8	5,4	6,6	7,9	9,5	10,83
	3,22	4,6	6,0	7,8	9,2	11,6	12,3	13,8
	4,64	6,3	7,8	9,8	11,3	12,8	14,8	16,3
	6,0	7,8	9,5	11,7	13,3	13,9	16,9	18,5
	7,3	9,2	11,1	13,4	15,1	16,3	18,9	20,5
	8,6	10,6	12,6	15,0	16,8	18,6	20,7	22,5
	9,8	12,0	14,1	16,6	18,5	20,3	22.6	24,3
	10,0	13,4	15,5	18,2	20,1	21,9	24.3	26,1
	12,2	14,7	16,0	19,7	21,7	23,6	26,1	27,9
	13,4	16,0	15,3	21,2	23,2	25,2	27,7	29,6
	14,6	17,3	19,7	22,6	24,7	26,8	29.4	31,3
	15,8	18,5	21,0	24,1	26,2	28,3		32,9
	17,0	19,8	22,4	25,5	27,7	29,8	32,5	34,5
	18,2	21,1	23,7	26,9	29,1			36,1
	19,3	22,3	25,0	28,3	30,6	32,5	35,5	37,7
	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0			39,2
	21,6	24,8	27,0	31,0	33,4	35,5	38,5	40,8
	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8			42,3
	23,9	27,2	30,1	33,7	36,2	38,5	41,5	43,8
	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6			45,3
	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9	41,5	44,5	46,8
	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3	42,5		48,3
	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6	44,0	47,5	49,7
	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	45,5	48,5	51,2

Продовження таблиці Б.1


30,7	34,4	37,7	41,6	44,3			52,6
31,8	35,6	38,9	42,9	45,6		51,5	54,1
32,9	36,7	40.1	44,1	47,0	49,5		55,5
34,0	37,9	41,3	45,4	48,3		54,5	56,9
35,1	39,1	42,6	46,7	49,9	52,5		58,3
36,3	40,3	43,8	48,0	50,9		57,5	59,7

Таблиця В.1 - Значення квантиля нормального розподілу для сукупностей обсягом 8-10 та 11-15 елементів

Значення	Розподіл
Нормальний	Стьюдента для n
8-10	11-15
1,6	0,890	0,928	0,933
1,7	0,911	0,938	0,943
1,8	0,928	0,047	0,952
1,9	0,942	0,955	0,960
2,0	0,954	0,962	0,969
2,1	0,964	0,067	0,972
2,2	0,972	0,972	0,977
2,3	0,979	0,977	0,981
2,4	0,983	0,980	0,984
2,5	0,987	0,983	0,987
3,0	0,997	0,993	0,995

Таблиця Г.1 - п -розподіл Стьюдента

Ймовірність Р
к\а	0,80	0,40	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,01

	0,325	1,376	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657	636,619
	0,289	1,061	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	31,598
	0,277	0,978	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	12,941
	0,271	0,941	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	8,610
	0,267	0,920	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	6,859
	0,265	0,906	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	5,.959
	0,263	0,896	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499	5,405
	0,262	0,889	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355	5,041
	0,261	0,883	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	4,781
	0,260	0,879	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169	4,587
	0,260	0,876	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	4,437
	0,259	0,873	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	4,818
	0,259	0,870	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	4,221
	0,258	0,868	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977	4,140
	0,258	0,866	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947	4,073
	0,258	0,865	1,337	1,746	2,120	2,483	2,921	4,015
	0,257	0,863	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,965
	0,257	0,862	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,922
	0,257	0,861	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861	3,883
	0,257	0,860	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,850
	0,257	0,859	1,323	1,721	2,080	2,518	2,831	3,819
	0,256	0,858	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,792
	0,256	0,858	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807	3,767
	0,256	0,857	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,745
	0,256	0,856	1,316	1,708	2,060	2,485	2,787	3,725
	0,256	0,856	!.315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,707
	0,256	0,855	!.314	1,703	2,052	2,473	2,771	3,690

Продовження таблиці Г.1


0,256	0,855	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,674
0,256	0,854	1,311	1,699	2,045	2,462	2,756	3,659
0,256	0,854	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,646
0,255	0,851	1,303	1,684	2,021	2,423	2,704	3,551
0,254	0,848	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	3,460
0,254	0,845	1,289	1,658	1,980	2,358	2,617	3,373
0,253	0,812	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	3,291

Таблиця Д.1 - Алгоритм розрахунку факторів та результативної ознаки для проведення кореляційно – регресійного аналізу

Факторна ознака, х	Результативна ознака, у
Варіант	Назва показника	Алгоритм розрахунку показника	Рядок форми статистичної звітності	Назва показника	Алгоритм розрахунку показника	Рядок форми статистичної звітності
	1. Коефіцієнт змінності робітників	Кількість відпрацьованих людиногодин за всі зміни/кількість відпрацьованих людиногодин у найбільш заповнену зміну. Змінюється від 1 до 3 в залежності від режиму роботи підприємства	Не відображається	1. Фодовіддача	Доход(виручка) від реалізації продукції(товарів, робіт, послуг)/ Середньорічна вартість основних засобів (Середньорічна вартість основних засобів =вартість основних засобів на початок звітного періоду (року)+ вартість основних засобів на кінець звітного періоду (року))/2	р.010 ф.2 р.100 ф.11-ОЗ

Продовження таблиці Д.1

2. Доля активної частини основних засобів	(вартість машин і обладнання +транспортні засоби(на кінець року)/ вартість основних засобів (на кінець року))х100%	р105+106+107 ф.11-ОЗ р.101 ф. 11-ОЗ	2.Продуктивність праці	Доход (виручка) від реалізації (товарів, робіт, послуг)/середньооблікова чисельність штатних працівників облікового складу	р.010 ф.2 р.317 ф.3-ПВ
3.Фондоозброєність праці	Середньорічна вартість основних засобів/ середньооблікову чисельність штатних працівників облікового складу (Середньорічна вартість основних засобів =вартість основних засобів на початок року + вартість основних засобів на кінець року)/2	р. 100 ф. 11-ОЗ р.317 ф. 3-ПВ	3.Продуктивність праці	Доход (виручка) від реалізації (товарів, робіт, послуг)/середньооблікова чисельність штатних працівників облікового складу	р.010 ф.2 р.317 ф.3-ПВ

Продовження таблиці Д.1

4.Плинність кадрів	(Звільнені за власним бажанням, звільнені за прогул/середньооблікову чисельність штатних працівників облікового складу)х100%	р.50 ф. 3-ПВ р.317 ф. 3-ПВ	4.Продуктивність праці	Доход (виручка) від реалізації (товарів, робіт, послуг)/середньооблікова чисельність штатних працівників облікового складу	р.010 ф.2 р.317 ф.3-ПВ
5.Матеріалоємкість продукції	Матеріальні затрати/доход (виручка) від реалізації продукції (товарів, робіт, послуг)	р.230 ф.2 р.10 ф.2	5.Рентабельність (збитковість)	(Валовий прибуток (збиток) / собівартість реалізованої продукції (товарів, робіт, послуг))х100%	р.050(р.055) ф.2 р.040 ф.2
6.Витрати на одиницю вартості продукції	Операційні витрати доход/(виручка) від реалізації продукції(товарів, робіт, послуг)	р.280 ф.2 р.010 ф.2	6.Рентабельність (збитковість)	(Валовий прибуток (збиток) / собівартість реалізованої продукції (товарів, робіт, послуг))х100%	р.050(р.055) ф.2 р.040 ф.2

Продовження таблиці Д.1

7.Коефіцієнт оборотності	Доход (виручка) від реалізації продукції(робіт, послуг)/ оборотні активи	р.010 ф.2 р.260 ф.1	7.Рентабельність (збитковість)	(Валовий прибуток (збиток) / собівартість реалізованої продукції (товарів, робіт, послуг))х100%	р.050(р.055) ф.2 р.040 ф.2
8.Темпи зростання цін			8.Темпи зростання рентабельності	Для визначення темпів зростання рентабельності обчислюють рентабельність	-«»-
9.Темпи зростання середньої заробітної плати зарплати	Для визначення темпів зростання заробітної плати обчислюємо середню зарплату, яка визначається: фонд оплати праці штатних працівників/(середньооблікову чисельність штатних працівників облікового складу х 12)	р.4010 ф.1-ПВ р317 ф.3-ПВ	9.Темпи зростання продуктивності праці (місячні)	Для визначення темпів зростання продуктивності праці обчислюють продуктивність праці

Продовження таблиці Д.1

	10.Темпи зростання середнього доходу	Для визначення темпів зростання середнього доходу обчислюють середній дохід, який визначається: фонд оплати праці штатних працівників + доходи, дивіденди, проценти згідно акцій і т.д.)/(середньооблікову чисельність штатних працівників облікового с кладу х 12)	р.4010ф.1-ПВ+р.4130ф.1-ПВ Р.317 ф.2	10.Темпи зростання продуктивності праці	Для визначення темпів зростання продуктивності праці обчислюють продуктивність праці
	11.Фондовіддача	Доход (виручка) від реалізації продукції (товарів, робіт, послуг)/ середньорічну вартість основних засобів	р.010 ф.2 р.100 ф.11-03	11.Доля амортизації	Амортизація/ доход (виручка) від реалізації продукції(товарів, робіт, послуг)	р.26 ф.2 р.010 ф.2

Таблиця Е.1 - Критичні значення коефіцієнтів автокореляції при =0,05

Обсяг вибірки	Додатні значення	Від’ємні значення
	0,253	0,753
	0,345	0,708
	0,370	0,674
	0,371	0,625
	0,366	0,593
	0,360	0,564
	0,353	0,539
	0,438	0,516
	0,341	0,497
	0,335	0,479
	0,328	0,462
	0,299	0,399
	0,276	0,356
	0,257	0,324

Список рекомендованої літератури

1 Статистика: Підручник / А.В.Головач, А.М.Єріна, О.В.Козирєв та ін За ред. А.В.Головача, А.М.Єріної, О.В.Козирєва-К.: Вища школа, 1993 –623 с.

2 Статистика: Збірник задач/А.В.Головач, А.М.Єріна, О.В.Козирєв та ін За ред. А.В.Головача та ін. К.: Вища школа, 1994-448 с.

3 Теорія статистики: Навчальний посібник/Вашків, П.У.Пастер, В.П.Сторожук, Є.І.Ткач.. К.:Либідь,2001. – 320 с.

4 Кулинич О.І.Теорія статистики:Підручник. -К.: Вища школа, 1992-135 с.

5 Кулинич О.І.Теорія статистики. Задачник. Кіровоград: Державне Центрально-Українське видавництво, 1997 -161с.

6 Статистика: теоретичні засади і практичні аспекти. Навчальний посібник. Фещур Р.В., Барвінськмй А.Ф., Кічор В.П. За науковою редакцією Фещура Р.В.-2-е видання оновленне і доповнене. -Львів: ”Інтелект-Захід”, 2003.-576 с.