Тема 4. Статистичний аналіз рядів розподілу

Побудова рядів розподілу - перший крок в обробці статистичної інформації, здобутої в результаті проведення статистичного спосте­реження. Водночас ці ряди є основою подальшої та ґрунтовнішої роз­робки такої інформації, а також всебічного її аналізу. Головне завдання даної теми - ознайомити студентів з основними статистичними характе­ристиками, що застосовуються при аналізі рядів розподілу.

Однією з основних статистичних характеристик є середня величи­на. Перед тим як приступити до її розрахунку, слід з'ясувати суть серед­ньої величини як узагальнюючої, абстрактної характеристики, що виражає типовий рівень варіюючої ознаки однорідних суспільних явищ та основні умови її наукового застосування.

У статистиці застосовують різні види середніх величин, основни­ми з яких є середня арифметична, середня гармонічна, середня квадра­тична, середня геометрична та дві їх форми - проста і зважена. Застосо­вуються також порядкові (структурні) середні - мода і медіана.

Тому найважливішим питанням при вивченні та використанні середніх величин є правильний вибір виду та форми середньої величини. Вибір форми середньої цілком залежить від способу подання вихідних даних. Якщо останні для обчислення середньої виступають у вигляді первин­них, незгрупованих даних, тобто при наявності даних про значення осереднюваної ознаки у кожної окремої одиниці сукупності (індивідуальних значень ознаки), то для розрахунку середньої величини застосовується проста форма; а якщо вони наведені у вигляді ряду розподілу або того чи іншого виду групування, тобто дані згруповані, то використовується форма зваженої середньої.

При виборі виду середньої необхідно додержуватися таких умов:

1. При обчисленні середньої необхідно виходити з економічного змісту осереднюваного показника. Кожний показник має свій, прита­манний лише йому зміст, тобто вихідне кількістне співвідношення відповідних абсолютних величин, яке є вихідною базою для обчислення даного осереднюваного показника. Наприклад, вихідна база розрахунку серед­ньої заробітної плати одного робітника виражаться так:

Середня заробітна плата фонд заробітної плати всіх робітників

одного робітника =

чисельність робітників

Тому при виборі виду середньої потрібно обов'язково написати словами формулу розрахунку осереднюваного показника.

2. Середня лише тоді буде обчислена правильно, коли при заміні нею всіх варіантів осереднюваного показника залишиться без зміни загальний обсяг осереднюваного показника — так званий визна­чальний показник. У наведеному прикладі визначальним показником є фонд заробітної плати всіх робітників, тобто загальна сума заробітної плати всіх робітників.

3. Вибір виду середньої залежить від характеру взаємозв'язку індивідуальних значень осередіваної ознаки та їх визначальним по­казником. Якщо визначальний показник являє собою суму індивідуаль­них значень осередиюваної ознаки, застосовується середня арифметич­на; якщо він є сумою обернених індивідуальних значень осереднюваної ознаки - середня гармонічна, а якщо він утворюється як добуток індивідуальних значень осереднюваної ознаки - середня геометрична.

Формули обчислення різних видів середніх за їх формами наведені в наступній таблиці.

Таблиця 4.1. Формули обчислення середньої величини

 

Вид середньої	Формула середньої
проста	зважена
Арифметична	_ ∑n X= --------- n	_ ∑xƒ X= --------- ∑ƒ
Гармонічна	_ n X= -------- ∑ x	_ ∑z X= ------------ z ∑ x
Геометрична	_ n X=√x1 x 2 x 3 … x n	m X=∑√ xm11 *xm22 * xm33 … x mnn
Квадратична	x2 X = √-------- n	∑ x2ƒ X=√--------- ∑ƒ

 

 

У цих формулах х - індивідуальні значення осереднюваної ознаки (варіанти); п - кількість варіантів; ƒ- частоти або ваги; m - показник сту­пеню, що характеризує відрізок часу, протягом якого варіанта не змінює

своєї величини. ƒ_і

Якщо частоти замінити частками, тобто ω_і =,

І

То формула розрахунку середньої арифметичної зваженої буде мати вигляд

_

X = ∑ хω,

якщо частки впряжені в долях одиниці і ∑ω = 1;

якщо частки виражені у відсотках і ∑ω=100%, то

_ ∑ хω

X =

У статистиці широке застосування мають порядкові (структурні) середні, до яких належать мода Мо і медіана Ме. Потрібно засвоїти їх суть, методику обчислення та їх роль в аналізі соціально-економічних явищ і процесів.

В інтервальних рядах розподілу з рівними інтервалами мода об-

числюється за формулою

 

ƒ_{Mo –} ƒ_Mo-1

M_o = x_Mo + h,

(ƒ_{Mo –} ƒ_Mo-1)+(ƒ_{Mo –} ƒ_Mo+1)

 

де x_Mo ,- нижня межа модального інтервалу; ƒ_Mo, ƒ_Mo-1, ƒ_Mo+1– частки або частки відповідно модального, передмодального і післяінтервального інтервалів.

0,5 ∑ƒ - S _{M e-1}

Формула медіани така: M _e = X_{M e +} h,

ƒ _{M e}

 

 

де X_{M e} - нижня межа медіанного інтервалу;S _{M e-1} - сума кумулятивних

частот або часток до медіанного інтервалу; ƒ _{M e} - частота або частка медіанного інтервалу.

Для всебічного і більш глибокого вивчення соціально-економічних явищ тільки характеристик центра розподілу (середньої, моди, медіани) явно замало, оскільки різні сукупності можуть мати однакові їх значення за тією чи іншою ознакою, але різко відрізнятися за характером варіації їх значень. Для виміру і оцінки варіації застосовують абсолютні і відносні показники. До абсолютних показників варіації відносяться: розмах варіаціїі, середнє лінійне відхилення, середній квадрат відхилліня (дисперсія), середнє квадратичне відхилення, коефіцієнти варіації.

Розмах варіації R становить різницю між найбільшим Xmax і най­меншим Xmin значеннями ознаки: R= Xmax- Xmin.

Середнє лінійне відхилення d являє собою середню арифметичну з відхилень індивідуальних значень ознаки від їх середньої величини. Його обчислюють за формулами:

∑‌ ‌ ‌‌‌‌‌‌│х-х │

За незгрупованими даними: d = - просте;

n

∑‌ ‌ ‌‌‌‌‌‌│х-х │ƒ

За згрупованими даними: d = - зважене;

∑ƒ

Дисперсія σ ² становить середню арифметичну з квадратів відхи­лень індивідуальних значень ознаки від їх середньої. Ії визначають за формулами:

∑(х-х)² ƒ

за незгруповаими даними: σ ² = - проста;

n

 

∑(х-х)² ƒ

за згрупованими даними: σ ² = - зважена;

∑ƒ

 

Якщо з дисперсії добути корінь квадратний, дістанемо середнє квадратичне відхилення σ:σ=√σ²

При порівнянні варіації різних ознак в одній сукупності або однієї ознаки у кількох сукупностях з різною середньою величиною використовуються відносні показники варіації — коефіцієнти варіації, які обчис­люються як відношення абсолютних показників варіації до середньої арифметичної, вираженев процентах.

Розраховутоть такі коефіціенти варіації:

R

осциляції: V_R =. 100 %

x

d

лінійний: V_d =. 100%

x

 

σ

квадратичний:Vσ =. 100 %

x

 

Крім варіації кількісних ознак статистика вивчає варіацію номі­нальних ознак. Дисперсія альтернативної ознаки - це добуток частки одиниць, в яких виявляється альтернативна ознака ω_1, на частку одиниць, в яких немає

(ω₀ =1- ω₁), тобто σ² = ω₁ . ω₀ = ω₁ . (1-ω₁).

Максимальне значення дисперсії альтернативної ознаки стано­вить 0,25, коли ω ₁= ω₀ = 0,5.

У тому випадку, коли номінальна ознака набуває не два, а більше значень, оцінка варіації являє собою узагальнюючу дисперсію, яка роз­раховується за формулою

n

σ² = ω₁ . ω₂.... ω_і . ω_n = ∏ ω_i,

ⁱ⁼¹

 

де ω_i, — частка і-го значення номінальної ознаки; п — кількість її зна­чень.

У цій темі також вивчаються характеристики форми розподілу. Потрібно добре розібратися в різних формах розподілу, тобто в різних формах співвідношення значень варіюючої ознаки і відповідних їм час­тот,або часток, видах рядів розподілу залежно від форми розподілу та засвоїти методику розрахунку статистичних показників форм розподілу — коефіцієнтів асиметрії (А) і ексцесу (Е).

Коефіцієнти асиметрії, що характеризують напрям і міру скошеності розподілу, розраховують за такими формулами:

x - M₀ x - M_e μ₃

A=; A =; A =,

σ σ σ³

 

 

де μ₃ - центральний момент 3-го порядку, який обчислюється за формулою

∑(х- х)³ ƒ

μ_{3 =.}

∑ƒ

 

 

Ексцес, який характеризує гостровершинність розподілу, тобто скупченість значень ознаки навколо їх середньої величини, обчислюєть­ся за формулою

μ₄

E =,

σ⁴

 

 

де μ₄ - центральний момент 4-го порядку, який обчислюється за форму­лою

 

_

∑(х-х)⁴ƒ

μ₄ =.

∑ƒ

 

 

Потрібно засвоїти не тільки методику розрахунку коефіцієнтів асиметрії та ексцесу, але й навчитися на їх основі аналізувати форми розподілу з урахуванням економічного змісту явища, що вивчається.

 

Типова задача №1

Маємо такі дані про розподіл магазинів за обсягом товарообороту.

 

Таблиця 4.2..

Т – об., тис.грн.	К-сть магазинів	Середина інтервалу	xf
f	x
1833-1851
1851-1869
1869-1887
1887-1905
1905-1923
-		-

Середній розмір товарообороту на 1 магазин = загальна сума товарообороту

Кількість магазинів

Формула розрахунку: х= ∑хƒ = 101628 = 1882 грн.на магазин.

∑ƒ 54

Типова задача №2

 

Протягом години один продавець, щоб одержати виручку у 1000 гривень витрачє 20 хвилин, а другий -30 хвилин. Скільки в середньому витрачає часу один продавець на одержання виручкит у 1000грн.?

Середні витрати часу визначаються шляхом ділення загальних витрат часу / 60 + 60/ на загальну кількість виручки в

тисячах гривень, отриманої за цей час / 60 + 60 /= 5 тис.грн. тобто

20 30

 

60+60 = 120 = 24 хвилини

5 5

 

Цей розрахунок можна, подати у вигляді формули, де х — витрати часу на 1000 гривень виручки, W — тривалість роботи

продавців.

 

∑_w

X = w + w =

w₁ + w₂ ∑ w

x₁ x₂ x

Це є формула середньої гармонічної зваженої. Розрахунок буде мати вигляд:

 

 

Х = 60 + 60 = 120 = 24 хвилини.

60 + 60 3+2

20 30

 

Оскільки витрати часу кожного продавця однакові (W1=W2=60 хвилин), то цю величину можна винести за дужки чисельнику і знаменнику і скоротити

 

 

X = w + w = W (1+1) = n

w₁ + w₂ W (1 + 1) ∑ 1

x₁ x₂ x x x

 

Це і буде формула середньої гармонічної простої. Розрахунок буде мати вигляд

 

Х = 60+60 = 60(1+1) = 2 = 2 = 24 хвилини.

60 + 60 60 (1 + 1) 1 + 1 2+3

20 30 20 30 20 30 60

 

Середня квадратична

Застосовується для визначення середніх сторін квадратів, середніх діаметрів циліндричних тіл.

 

Проста Зважена

Х = √ ∑х² X = √ ∑x²ƒ

n ∑

 

Типова задача №3

Маємо два квадрати зі сторонами 20 і З0 см; Треба визначити середню сторону квадрата. Середня арифметична цих величин — 25 см. не відповідає дійсності. Площа двох квадратів з такою стороною дорівнює 1250 см² / 25² х 2/, а дійсна площа 1300 см^² /20²+ЗО²/. Знаючи площу двох квадратів /1300 см²/, можна визначити сторону рівновеликого квадрата. Вона буде дорівнювати кореню квадратному із половини загальної площі.

 

√ 1300 = √650 = 25,5 см.

 

 

Цей же результат дає і середня квадратична.

 

 

Х = √ 20²+30² = √ 1300 = √650 = 25,5 см.

2 2

 

Модою в статистиці називається ознака, що зустрічається в досліджуваній сукупності найбільш часто. Для дискретного ряду

розподілу модою буде ознака, що має найбільшу частоту /ƒ/,

В інтервальному ряду розподілу мода обчислюється за

формулою:

 

ƒ ₂ - ƒ₁

М_о = х_о + і -------------------------,

(ƒ ₂ - ƒ₁ ) + (ƒ ₂ - ƒ₃)

 

Де М_о - мода (конкретне значення),

х_{о –} мінімальне значення модального інтервалу;

і – величина модвльного інтервалу;

ƒ ₂ - частота модального інтервалу,

ƒ ₁ - частота інтервалу, що стоїть перед модальним,

ƒ ₃ – частота інтервалу, що стоїть після модального.

 

Типова задача №4

За даними табл. 4.2. визначити моду та медіану.

 

М_о = 1869+18 21-9 = 1881 тис.грн.

(21-9)+(21-15)

 

Медіаною, або серединною варіантою називається ознака, яка

знаходиться в середині ранжированого ряду значень ознаки. Медіана в інтервальному ряду розподілу обчислюється за формулою

 

∑ƒ - S М_{е - 1}

М_е = х_о + і _{---------------------------}

ƒ me

 

де Хо — мінімальне значення медіанного інтервалу; і— величина

медіанного інтервалу,

∑ƒ

2 -- напівсума частот;

S М_{е – 1} - сума частот, що стоять перед медіанною частотою;

ƒ me - частота медіанного інтервалу.

 

Типова задача №5

Обчислити конкретне значення медіани для попередньої задачі. Спочатку визначаємо медіанний інтервал. Для цього суму

частот +1 ділимо на 2 (54⁺1):2=27,5. Це означає, що медіана у ранжированому ряду буде знаходитися між 27 і 28-ю варіантами. Щоб визначити модальний інтервап потрібно знайти суму наростаючих частот, в якій нагромаджується 5О% чисельності ряду /3+9+21=33/, тобто медіанний інтервал знаходиться у третій групі і буде дорівнювати 1869-1887.

 

54

2 - 12

М_о = 1869 + 18 ---------------- = 1869+18 15 = 1882 тис.грн.

21 21

 

 

Запитання для самоперевірки

1.Дайте визначення середньої величини.

2. Назвіть умови правильного застосування середніх величин.

3. Які є види і форми середніх величин?

4. В яких випадках використовується та чи інша форма середньої вели­чини?

5. Назвіть умови правильного вибору виду середньої величини.

6. В яких випадках використовується середня гармонійна?

7. Що таке мода і медіана, як їх обчислюють у дискретних та інтервальних рядах розподілу?

8. Напишіть формули визначення моди і медіани у інтервальних рядах розподілу.

9. Для чого потрібно вивчати варіацію ознак?

10.Напишіть формули визначення всіх показників варіації.

11.Як треба розуміти розмах варіації?

12.У чому полягає економічній зміст середнього лінійного і середнього

квадратичного відхилення? Чому σ більше dза абсолютною вели­чиною?

13. Можна чи ні порівнювати варіацію двох ознак, що мають різні оди­ниці вимірювання з допомогою σ і d?

14.3 якою метою обчислюють коефіцієнт варіації?

15.Як визначити дисперсію альтернативної ознаки?

16. В чому проявляється закономірність розподілу?

17. Напишіть формули визначення показників асиметрії і ексцесу, по­ясніть їх суть.