Свойства градиента функции

1) В каком направлении нужно двигаться, чтобы увеличение функции было максимальным? Видно, что при постоянных величинах и значение будет максимальным если или , т.е. вектор должен быть сонаправлен с вектором . Следовательно, вектор градиента функции () направлен в сторону максимального роста функции U.

2) Поверхностью уровня функции U называется поверхность в пространстве, на которой

. Если сместиться вдоль поверхности уровня на малый вектор , то значение функции не изменится, поэтому . Это означает, что , т.е. векторы и перпендикулярны. Следовательно, вектор градиента функции направлен перпендикулярно к поверхности уровня функции в каждой её точке.

 

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ.

В механике силы принято делить на консервативные и неконсервативные.

Рассмотрим силы между телами, которые зависят только от их взаимного положения. Такие силы называются консервативными или потенциальными.

Консервативными силами являются:

1) Сила всемирного тяготения. Она зависит только от расстояния между телами.

2) Сила тяжести. Она является частным случаем силы всемирного тяготения.

3) Сила кулоновского взаимодействия.

4) Сила упругости.

Для каждой из консервативных сил можно определить потенциальную энергию. Работа А, совершаемая консервативными силами при изменении конфигурации системы, т.е. расположения её частей (материальных точек) относительно системы отсчёта, не зависит от того, как конкретно осуществляется процесс перехода из начальной конфигурации системы в конечную. Работа А полностью определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Следовательно её можно представить в виде разности значений некоторой функции конфигурации системы , называемой потенциальной энергией системы:

.

Соответственно элементарная работа консервативных сил при малом изменении конфигурации системы равна:

.

Если внешние консервативные силы нестационарны, то потенциальная энергия системы зависит не только от конфигурации системы, но также и от времени. Между тем работу эти силы совершают только при перемещении системы. Поэтому приведённые выше соотношения справедливы лишь при условии стационарности внешних консервативных сил.

Ещё раз подчеркнём, что потенциальная энергия для консервативной силы - это физическая величина, зависящая только от положения точки (тела), убыль которой равна работе соответствующей силы, действующей на точку (тело).

(Обратите внимание на порядок индексов). Потенциальная энергия, как и работа, измеряется в Джоулях. Потенциальная энергия – это энергия, определяемая положением тела. В одном и том же положении тело будет иметь одинаковую потенциальную энергию.

Замечание. Поскольку в определении сказано о разности энергий, то энергию можно определить только с точностью до произвольного постоянного слагаемого - к определяющим соотношениям можно прибавить любую постоянную величину С, которая при взятии разности пропадёт:

.

1) Таким образом, потенциальная энергия определена с точностью до константы. Поэтому нельзя говорить об абсолютном значении потенциальной энергии без указания «начала отсчета» - точки, где указано конкретное значение энергии.

2) Работа консервативной силы не зависит от пути, вдоль которого двигалось тело, а только от его начального и конечного положений.

.

Следовательно, работа консервативной силы по замкнутому пути равна нулю. Действительно,

 

для замкнутого пути , поэтому . (Кружок в знаке интеграла показывает, что путь замкнутый.)

Замечание. Нельзя сказать, что если работа силы по замкнутому контуру равна нулю, то эта сила – консервативная. Например, вектор магнитной составляющей силы Лоренца всегда направлен перпендикулярно вектору скорости частицы, поэтому работа этой силы по любой траектории (в том числе и по замкнутой) равна нулю. Но эта сила не является консервативной – она является гироскопической силой.

Рассмотрим две близкие точки в пространстве, смещённые друг от друга на малый вектор , координаты этих точек: и .

Работа консервативной силы при перемещении между этими точками равна:

Но изменение потенциальной энергии при перемещении между точками можно записать в виде:

или

.

Так как вектор произвольный, то поэтому , , ,

т.е. для консервативной должно выполняться равенство .

Изоэнергетической поверхностью в пространстве называется поверхность уровня энергии, т.е. поверхность на которой величина энергии остается постоянной. Изоэнергетическая поверхность для потенциальной энергии называется также эквипотенциальной поверхностью.

Таким образом, вектор консервативной силы направлен в сторону скорейшего убывания потенциальной энергии перпендикулярно эквипотенциальной поверхности.