Условия равновесия системы сходящихся сил

Пусть на свободное твердое тело действует система сходящихся сил (F1, F2,... FN). Сложив по правилу силового многоугольника N-1 этих сил, приведем данную систему сходящихся сил к системе двух сил (R1, FN).   Но, по первой аксиоме, две силы R1 и FN приложенные к твердому телу, эквивалентны нулю, т.е. находятся в равновесии только в том случае, когда они имеют равные модули и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т.е. если их равнодействующая R*= R1 + FN равна нулю.   Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этой системы сил равнялась нулю, т.е.   R* = Σ Fk = 0. (6)   Это векторное условие равновесия системы сходящихся сил.   Так как равнодействующая R* изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник, то геометрически условие равновесия системы сходящихся сил означает, что силовой многоугольник, построенный на векторах слагаемых сил данной системы, замкнут.   Выразим теперь это условие аналитически. Из предыдущего параграфа известно, что модуль равнодействующей системы сходящихся сил определяется по формуле       Но при равновесии R*= 0, а следовательно равно нулю и подкоренное выражение формулы (2). Поскольку под знаком корня стоит сумма положительных чисел, то R* может равняться нулю только в случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности, т.е.   ΣFkx = 0, ΣFky = 0, ΣFkz = 0. (8)   Таким образом, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из трех выбранных любым образом координатных осей равнялись нулю.   Имея плоскую систему сходящихся сил, всегда можно плоскость, в которой расположены силы, принять за координатную плоскость хОу. Тогда третье условие в формулах (8) выполняется тождественно, и условия равновесия, в рассматриваемом случае, сведутся к двум следующим условиям: ΣFkx = 0, ΣFky = 0. (9)   Т.е., для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на каждую из двух выбранных любым образом координатных осей, лежащих в плоскости действия сил данной системы, равнялись нулю.

5.

 

6. Геометрические условия равновесия.

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из сил системы, был замкнутым. Это означает равенство нулю равнодействующей и главного вектора данной системы сил. Напомним, что векторная сумма - это вектор, соединяющий конец последнего из слагаемых векторов с началом первого из них. Теоретическая механика Условие равновесия произвольной плоской системы сил При равновесии главный вектор системы равен нулю.

Аналитические условия равновесия.

Очевидно [см. формулы (1.1)], что равнодействующая системы сходящихся сил и ее главный вектор будут равны нулю, если суммы проекций всех сил на координатные оси будут равны нулю, т.е.

å Fkx = 0, å Fky = 0, å Fkz = 0. (1.2)

Равенства (1.2) выражают условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме.

3. Теорема о трех силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Так как по условию теоремы все три силы непараллельны, перенесем две любые из них в точку пересечения их линий действий (на рис 1.11 силы А! и А@ переносятся в точку Е) и заменим равнодействующей ™. Поскольку тело по условию находится в равновесии, а операция по переносу сил вдоль линий их действия и последующего сложения этого равновесия не нарушит, то линия действия третьей силы А# должна пройти через точку Е в соответствие с первой аксиомой статики.

Рис. 1.11. К доказательству теоремы о трех силах

Реакции геометрических связей

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя его перемещению, называется силой реакции связи или просто реакцией связи. Значения реакций связей определяются в процессе решения соответствующей задачи механики. Направлена же реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Ниже представлены наиболее часто встречающиеся типы связей и направления их реакций.

Рис. 1.12

Гладкая плоскость (поверхность или опора) (рис. 1.12). Реакция гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке.

Рис. 1.13

Нить (канат, цепь, ремень, трос). Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 1.13), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению АМ. Поэтому реакция натянутой нити направлена вдоль нее от тела к точке подвеса.

Неподвижный цилиндрический шарнир или подшипник (шарнирно-неподвижная опора). Цилиндрическим шарниром (рис. 1.14) называется совокупность неподвижной обоймы (втулки) 1 и помещенного в нее валика (пальца) 2, жестко соединенного с телом 3. В точке С соприкосновения втулки с валиком возникает сила опорной реакции, направленная по нормали к идеально гладким поверхностям. Эта нормаль проходит через геометрический центр А валика. Так как положение точки С соприкосновения валика со втулкой заранее не известно, то невозможно сразу указать направление силы реакции , но можно утверждать, что линия действия реакции всегда пройдет через центр А шарнира. На расчетных схемах шарнирно-неподвижная опора условно изображается так, как показано на рис. 1.15. Неизвестную по модулю и направлению реакцию при решении задач представляют в виде двух ее взаимноперпендикулярных составляющих и . После определения их значений находят значение реакции и ее направление:

Рис. 1.14 Рис. 1.15

,

Шарнирно-подвижная опора (опора на катках). Реакция такой связи проходит через центр шарнира (рис.1.16) и направлена перпендикулярно к опорной

Рис. 1.16

Рис. 1.17

Рис. 1.18

Сферический шарнир (рис. 1.17). Сферическим шарниром называется устройство, выполненное в виде двух контактирующих сфер, геометрический центр А которых неподвижен. Тело 3, равновесие которого рассматривается, жестко связано с внутренней подвижной сферой 1. При условии, что сферические поверхности гладкие, реакция направлена по нормали к этим поверхностям и проходит через центр А сферы. На расчетных схемах реакцию представляют в виде трех ее взаимно-перпендикулярных составляющих , и , направленных вдоль координатных осей.

Подпятник (рис. 1.18). Подпятник представляет собой соединение цилиндрического шарнира 2 и опорной плоскости 3, на которую опирается вал 1. Реакция подшипника, лежащая в плоскости перпендикулярной оси вала, представляется двумя ее взаимно-перпендикулярными составляющими и , а реакция опорной плоскости - реакцией , направленной по нормали к этой плоскости.

Невесомый стержень (рис. 1.19). Реакция прямолинейного невесомого (идеального) стержня направлена вдоль этого стержня. Если связью является криволинейный стержень, то реакция направлена вдоль прямой АВ, соединяющей концевые шарниры А и В.

Рис. 1.19

Жесткая заделка (неподвижное защемление) конца балки (рис. 1.20). Такая связь не допускает не только линейных перемещений балки 1 вдоль координатных осей, но и вращения балки в плоскости хАу.

Рис. 1.20

Нахождение реакций жесткой заделки сводится к определению трех неизвестных величин: составляющих и реакции и так называемого реактивного момента МА, препятствующего вращению балки в плоскости хАу вокруг точки А.

7.

Сложение сил

 

11.11.07 21:42

Разместить товары или стать партнером Для сложения многих сил достаточно знать правило сложения двух сил, так как сложение нескольких сил можно провести после­довательным применением этого правила. Сложение двух сил, приложенных в одной точке. Равнодействующая двух сил P1 и P2, направленных под углом Υ (фиг.17), по величине и направлению равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах (правило параллелограмма сил). Следовательно, R=√(P12+P22+2P1P2cosγ); P1/sinβ=P2/sinα=R/sinγ Частные случаи: 1) γ=90°; R=√(P12+P22); cosα=P1/R; cosβ=P2/R; 2) γ=0; R=P1+P2; α=0; β=0, т.е. равнодействующая двух сил, действующих по одной прямой в одну сторону, пампа их гумме и направлена в туже сторону; 3) γ=180°; R=P1-P2; α=0; β=180°, т.е. равнодействующая двух сил, действующих по одной прямой в противоположные стороны, равна их разности и направлена в сторону большей силы.

Сложение двух сходящихся сил. Так называются силы, линии действия которых пересекаются. Правило сложения двух сходящихся сил одинаково с правилом сложения двух сил, приложенных в одной точке, так как действие двух сходящихся сил Р1 и Р2, приложенных в точках А1 и А2 абсолютно твердого тела, можно заменить действием тех же сил, приложенных в точке пересечения их линий действия (фиг.18).