Плотность тела и метод ее определения

Физика

Механика

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА»

Методические указания к лабораторной работе № 1 для направления подготовки

специалистов:	130400.65	- Горное дело
	190109.65	- Наземные транспортно-технологические средства
бакалавров:	080200.62	- Менеджмент
	140400.62	- Электроэнергетика и электротехника
	220400.62	- Управление в технических системах
	270800.62	- Строительство
	190600.62	- Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Губкин, 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени В.С. Черномырдина»

Губкинский институт (филиал)

УТВЕРЖДЕНО

Директором Губкинского

института (филиала) МГОУ

Физика

Механика

«ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА»

Методические указания к лабораторной работе № 1 для направления подготовки

специалистов:	130400.65	- Горное дело
	190109.65	- Наземные транспортно-технологические средства
бакалавров:	080200.62	- Менеджмент
	140400.62	- Электроэнергетика и электротехника
	220400.62	- Управление в технических системах
	270800.62	- Строительство
	190600.62	- Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов

Губкин, 2011

УДК 53

Ф 50

Физика. Часть 1.Определение плотности твердого тела: Методические указания к лабораторной работе №1/Сост. А.Н.Ряполов; Рец. д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой физики КГТУ В.М. Полунин, к.т.н., профессор кафедры "Теоретической и прикладной механики" ГИ(филиала) МГОУ А.И. Гарбовицкий.- Губкин.: ГИ МГОУ, 2011.- 12с.

Методические указания включают рекомендации и указания по выполнению лабораторной работы, в которой определяется плотность твердого тела

Указания содержат краткую теоретическую часть; описание экспериментальной установки, порядок выполнения работы, контрольные вопросы и указана литература по теории.

Предназначены для студентов технических специальностей вузов.

университета, 2011.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Цель работы: определение плотности тела цилиндрической формы и вычисление погрешности измерений.

Лабораторный практикум по физике помогает студентам лучше усвоить основные физические закономерности и приобрести навыки экспериментирования. В основе точных естественных наук, к числу которых относится и физика, лежат измерения. Измерения физических величин можно подразделить на следующие виды:

1. Прямые, когда измеряемая величина определяется непосредственно с помощью соответствующего измерительного прибора. Так, массу тел можно найти с помощью весов; длину измерить линейкой, штангенциркулем; время - секундомером; а силу тока - амперметром.

2. Косвенные, когда физическая величина определяется из формулы, в которую подставлены значения других величин, полученных прямыми измерениями. Например: ускорение равноускоренного движения без начальной скорости определяется по формуле , где S и t измерены непосредственно с помощью линейки и секундомера.

Ни одно из измерений не дает истинного значения физической величины. Причина этого - несовершенство методов измерения, измерительных приборов и органов чувств человека. Поэтому при выполнении лабораторной работы необходимо научиться оценивать ошибки или погрешности измерений.

Точность измерений характеризуется их погрешностью. Погрешностью измерений называют разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины. Обозначая абсолютную погрешность измерения величины х символом Dх, найдем .

Кроме абсолютной погрешности х, часто бывает важно знать относительную погрешность e, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению измеряемой величины

Качество измерений обычно определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью. Одна и та же погрешность в 1 мм при измерении длины комнаты не играет роли, а при измерении длины стола может уже быть существенна, а при определении диаметра болта совершенно не допустима. Это происходит потому что, относительная погрешность измерений в первом случае составляет» 2х10^-4,во втором 10^-3, а в третьем может составлять десятки процентов и более. Вместо того чтобы говорить об абсолютной и относительной погрешности измерений, часто говорят об их абсолютной и относительной ошибке. Между терминами погрешность и ошибка нет никакого различия.

Говоря о погрешностях измерений, следует, прежде всего, упомянуть о грубых погрешностях (промахах), возникающих вследствие недосмотра экспериментатора или неисправности аппаратуры. Например, экспериментатор неправильно прочтет номер деления на шкале, или в электрической цепи произойдет замыкание. Грубых ошибок следует избегать. Если установлено, что они произошли, соответствующие измерения нужно отбрасывать.

Не связанные с грубыми ошибками погрешности опыта делятся на систематические и случайные.

Систематические ошибки - могут быть вызваны неправильной установкой прибора (в отключенном состоянии стрелка прибора смещена относительно нуля, не равные плечи весов) и с самой постановкой опыта (не учтено, например, влияние трения). Систематические ошибки допускаются еще и по той причине, что каждый прибор изготовляется с определенной степенью точности, которая указывается на его шкале числом, например: 0,1, 1 и т.д. При повторных измерениях ошибки, обусловленные классом точности остаются неизменными. Систематические ошибки сохраняют свою величину и знак во время эксперимента.

Рис.1 поясняет различие между случайными и систематическими ошибками. В ситуации, изображенной на рис. 1а систематическая ошибка пренебрежимо мала. Измеренные значения отличаются от истинного вследствие случайных ошибок опыта. На рис. 1б изображены результаты опыта при наличии как случайных, так и систематических погрешностей.

измеренные значения измеренные значения

истинное

значение истинное значение

систематическая ошибка

Рис. 1а. Рис. 1б.

Случайные ошибки возникают при изменении внешних условий (температуры, давления, порывов ветров, сотрясения зданий и т.д.), действие которых на каждое измерение оказывается различным. К ним относятся и ошибки, обусловленные свойствами измеряемого объекта - цилиндр по диаметру имеет различные поперечные размеры.

Производя измерения, всегда допускают как систематические, так и случайные ошибки. Если при повторных измерениях какой-либо величины получаются одинаковые результаты, то это означает, что систематические ошибки оказывают на точность измерений большее влияние, чем случайные. Если же результаты измерений окажутся различными это значит, что в этом случае случайные ошибки больше систематических. Точность измерений такой величины будет определяться случайными ошибками, которые находят с помощью теории вероятностей.

Теория вероятностей показывает, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины х_ист _. является среднее арифметическое многих повторных измерений.

где n-число измерений, а - результат отдельного измерения.

Величина называется абсолютной случайной погрешностью

i - того измерения

Величина , называется средней абсолютной погрешностью измерений. Истинное значение лежит в пределах < х >±<Dх>.

Величина называется относительной погрешностью.

Этот метод оценки можно применять при проведении прямых (непосредственных) измерений, но он является неточным.

В случае косвенного измерения измеряемая величина является функцией других величин А, В, С и т.д., которые находят прямым методом х = f (А,В,С). В нашем примере

Для нахождения погрешности косвенного измерения поступают следующим образом:

1. Логарифмируют функцию х = f (А,В,С).

2. Полученное логарифмическое выражение дифференцируют по всем аргументам.

3. Знаки «d» заменяют на «D». Знаки «–» между отдельными относительными погрешностями на «+». Ставят знак усреднения «< >»

Для выражения . Эти действия выполняются так:

1. ln a = ln2 + lnS – 2lnt

– средние результаты измерений пути и времени

– средние абсолютные погрешности при измерении пути и времени:

п - число измерений.

Необходимо помнить, что погрешность в случае непосредственных измерений не должна быть меньше погрешности измерительного прибора. Если в рассмотренном примере окажется, что <DS> или <Dt> меньше погрешности соответствующих измерительных приборов, то следует <DS> и <Dt> принять равными погрешностям измерительных приборов. Произведя с учетом этого вычисления по формуле , находим относительную погрешность

Абсолютная погрешность ; окончательный результат записывают в виде в виде .

Необходимо помнить, что важен не столько результат измерений, а то в каком интервале лежит истинное значение определяемой величины. Чем меньше этот интервал, т.е. чем меньше ошибка, тем точнее выполнено измерение.

ПЛОТНОСТЬ ТЕЛА И МЕТОД ЕЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Плотность - это отношение массы тела к объему, в котором эта масса распределена. Если тело однородно, то плотность определяется по формуле ,

где m - масса тела, V-объем тела. Для тела цилиндрической формы, плотность определяется по формуле

(1)

где D - диаметр цилиндра, h высота цилиндра.

В данной лабораторной работе предлагается произвести расчет погрешностей измерений по методу среднего арифметического. Однако существуют и другие способы расчета погрешностей [1, 2].

Среднее значение массы, высоты и диаметра цилиндра определяют по формулам

(2)

Находят абсолютные погрешности каждого из измерений:

(3)

а затем значения средних абсолютных погрешностей:

(4)

В том случае, если значение средней абсолютной погрешности измерения меньше погрешности прибора, то при дальнейших расчетах берется погрешность прибора. Например, для <Dh>, берется погрешность штангенциркуля, равная цене его деления.

В соответствии с изложенной выше методикой расчета погрешности косвенных измерений осуществим расчет погрешности определения плотности. Вначале логарифмируем почленно левую и правую части равенства (1), получим

Далее дифференцируя почленно левую и правую части считая ln4 постоянной величиной, имеем

Заменяем дифференциалы величин их приращениями, в качестве которых будем применять средние абсолютные погрешности

Считая, что погрешности отдельных прямых измерений взаимно усиливают друг друга, заменяют в правой части все знаки “ – “ на “ + “

(5)

Поскольку число p взято с определенной степенью точности, его также можно считать измеренным. А в качестве погрешности принять половину единицы последнего разряда, который определен в числе p. Так, при p = 3,14 Dp = 0, 005. В правой части выражения (5) все величины известны, поэтому можно рассчитывать относительную погрешность определения плотности

(6)

а затем и абсолютную погрешность

(7)

Расчет плотности следует проводить один раз, подставляя среднее значение массы <m>, диаметра <D> и высоты <h>.

Можно указать и более точный метод расчета погрешностей с помощью нахождения среднеквадратичных ошибок:

1. Логарифмируем выражение (1)

2. Дифференцируем последнее выражение

и преобразуем его к виду

(8)

где (9)

<m>, <D>, <h> - средние арифметические значения массы, диаметра и высоты

s_m, s_D, s_h – выборочные средние квадратичные отклонения при измерении массы, диаметра и высоты образца

(10)

3. Из выражения (8) определяем s_r

(11)

4. Определяем величину Dr, называемую доверительной случайной погрешностью измерения плотности по формуле

(12)

где коэффициент называемый коэффициентом Стьюдента, учитывает конечное число п наблюдений и надежность (доверительную вероятность р) результата. Аппарат математической статистики позволяет вычислять коэффициенты для любых р и п. Результаты таких вычислений приведены в таблицах. Например, задаваясь доверительной вероятностью р = 0,8, находим из таблицы, что для п = 4 коэффициент Стьюдента . Следовательно, в выбранном примере, истинное значение плотности твердого тела лежит в интервале

(13)

с вероятностью р=0,8

Эта вероятность означает, что из 4-х измерений 80% измеряемых величин будет лежать в промежутке от .

Выражения для вычисления погрешностей нескольких элементарных функций представлены в таблице.

Таблица

№ п/п	Вид функции	Относительная погрешность

	У = а + в
	У = а - в
	У = а ∙ в ∙ с

Примечание. При вычислении погрешностей необходимо учесть, что а, в и φ представляют собой средние значения измеренных величин, а также то, что являются средними абсолютными ошибками этих величин.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Определить точность штангенциркуля, либо микрометра, весов.

2. 2. Измерить линейные размеры твердого тела микрометром или штангенциркулем. Измерения повторить 4 раза.

3. Занести данные измерений и последующих расчетов в таблицу 1.

4. Определить массу твердого тела взвешиванием 4 раза.

5. Вычислить значения <h>,<D>,<m> по формулам (2).

6. Вычислить значение плотности r по формуле (9).

7. Вычислить средние абсолютные погрешности <Dh>, <DD>, <Dm> по формулам (4). В том случае, если они окажутся меньшими, чем погрешности соответствующих приборов, в дальнейших расчетах вместо этих величии брать погрешности приборов.

8. Вычислить относительную и абсолютные погрешности плотности r по формулам (5) и (7).

9. Записать окончательный результат в виде:

Например: .

10. Сравнив полученное значение с табличными данными, сделать вывод о том, из какого вещества состоит тело.

Примечание: по указанию преподавателя дополнительно выполняется расчет по методу выборочных средних квадратичных отклонений.

Таблица 1.

№ опыта	Масса, m10^{-3, кг}	Диаметр, D10^{-3 м}	Высота h, 10^{-3 м}	<Dm>, 10^{-3 кг}	<DD>, 10^{-3 м}	<Dh>, 10^{-3 м}	e, %	Dr, 10³кг/м³	r, 10³ кг/м³

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие виды измерений вам известны?

2. Дать характеристику погрешностей.

3. Как рассчитываются погрешности при прямых и косвенных измерениях?

4. Как оцениваются средние квадратичные ошибки при прямых и косвенных измерениях?

5. Устройство штангенциркуля и приемы работы с ним.

6. Устройство микрометра. Как оценить точность микрометра? Как осуществляется отсчет по микрометру?

7. Плотность вещества, в каких единицах она измеряется?

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров, В.Н. Лабораторный практикум по общей экспериментальной физики [Текст]: учебн. пособ./В.Н. Александров, С.В.Бирюков, Н.А.Васильева, под. ред. Е.М. Гершензона. - М: Академия 2004.-464с.