Тотожні перетворення ірраціональних виразів

Арифметичним коренем n-го степеня з невід’ємного числа а називають невід’ємне число, n-й степінь якого дорівнює а.

Ірраціональним виразом зі змінними звичайно називають:

1) будь-який вираз виду, , де X – раціональний вираз зі змінними;

2) якщо A – ірраціональний вираз зі змінними, а r – числовий вираз, то r + A, r – A, r · A, r: A, A: r, – ірраціональні вирази зі змінними;

3) якщо A – ірраціональний вираз зі змінними, а B –раціональний вираз зі змінними, то A + B, A – B, A · B, A: B, B: A – ірраціональні вирази зі змінними.

4) Якщо A та B – ірраціональні вирази зі змінними, то A + B, A – B, A · B, A: B, А^a (aÎQ), – ірраціональні вирази зі змінними.

Інших ірраціональних виразів зі змінними не існує.

Приклад 1. Спростити: .

Розв’язання

, при а¹ 0, а¹ –1.

Відповідь: , при а¹ 0, а¹ –1.

В основі оперування з ірраціональними виразами із змінними лежать властивості арифметичних коренів у множині дійсних чисел. Розглянемо алгоритми виконання основних видів тотожних перетворень ірраціональних виразів.

Винесення множника з-під знака кореня. Якщо підкореневий вираз можна представити у вигляді добутку, то можна скористатись наступними формулами

, де а – будь-яке дійсне число, b ³0, kÎN.

, де а і b – будь-які дійсні числа.

Приклад 2. Винести множники з-під знаку кореня .

Розв’язання

.

Внесення множника під знак кореня. Це перетворення є оберненим до попереднього. При його здійсненні використовуються формули

, де а і b – будь-які дійсні числа, kÎN.

Приклад 3. Внести множник під знак кореня .

Розв’язання

 

Позбавлення від ірраціональності у знаменнику дробу. Щоб позбавитись від ірраціональності у знаменнику (чисельнику) дробу досить помножити та поділити його на так званий додатковий множник. Розглянемо найбільш поширені випадки позбавлення ірраціональності у знаменнику дробу.

1.

2.

 

3.

Приклад 4. Позбавитися від ірраціональності в знаменнику:

При виконанні більш складних перетворень слід пам’ятати, що порядок виконання дій в ірраціональних виразах залишається таким же, як і в раціональних. Якщо область допустимих значень змінних, що входять у заданий вираз, не вказана, то попередньо треба її визначити. Наведемо приклад виконання перетворень ірраціональних виразів

Приклад 5. Спростити вираз , при 0 < a < 1.

Розв’язання

Відповідь: –1.

Приклад 6. (Збірник для підготовки до ЗНО, завдання 5.40).

Спростити вираз .

Розв’язання

Можна легко помітити, що , тоді , а .

Тоді .

Відповідь: 1.

Приклад 7. (Збірник для підготовки до ЗНО, завдання 5.41).

Спростити вираз .

Розв’язання

При розв’язуванні даної задачі ми скористаємося формулою

.

Позначимо і піднесемо обидві частини отриманого рівняння до кубу: .

Враховуючи, що , останнє рівняння запишемо як Û .

Якщо отримане рівняння має цілі корені, то вони містяться серед дільників вільного члена 4, тобто серед чисел ± 1, ± 2, ± 4. Ввикориставши схему Горнера, отримаємо: , тобто х = 1.

Відповідь: 1.