Общие понятия теории массового обслуживания

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ.

Общие понятия теории массового обслуживания.

Основной задачей теории массового обслуживания является установление количественных зависимостей между числом приборов обслуживания, характеристиками входящего потока требований (заявок) и качеством обслуживания. При этом под качеством обслуживания понимается, насколько своевременно проведено обслуживание поступивших в систему требований, насколько полно загружены обслуживающие приборы, не велик ли уход из системы не обслуженных требований, не создается ли большая очередь.

Каждая СМО состоит из какого – то количества обслуживающих единиц, которые называются каналами обслуживания (это станки, транспортные тележки, роботы, линии связи, кассиры, продавцы и т.д.). Всякая СМО предназначена для обслуживания какого – то потока заявок (требований), поступающих в какие – то случайные моменты времени.

Обслуживание заявки занимает случайное время, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания может привести к тому, что в какие – то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое количество заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными). В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

Предмет теории массового обслуживания – построение математических моделей, связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы, характер потока заявок) с показателями эффективности СМО. Эти показатели описывают способность СМО справляться с потоком заявок. Ими могут быть: среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени; среднее число занятых каналов; среднее число заявок в очереди; среднее время ожидания обслуживания и т.д.

Классификация систем массового обслуживания

По своему составу СМО делятся на системы с одним обслуживающим прибором (каналом) и многими приборами обслуживания, называющимися соответственно одноканальными и многоканальными.

Многоканальные системы могут состоять из однотипных или разнотипных приборов.

По времени пребывания требований в системе до начала обслуживания СМО делятся на:

- системы с отказами

- системы с неограниченным временем ожидания

- системы смешанного типа (с ограниченным временем ожидания).

В системах с отказами всякое поступившее требование, застав все приборы занятыми, покидает систему.

В системах с неограниченным временем ожидания поступившее в систему требование и обнаружившее все приборы занятыми вынуждено ожидать своей очереди до момента освобождения какого-нибудь (или определенного прибора).

В системах смешанного типа поступившие требования, застав все приборы занятыми, становятся в очередь. Но в ней они находятся ограниченное время, по истечении которого покидают систему. К смешанным системам относятся также системы с ограниченной длиной очереди.

Поток событий – последовательность однородных или неоднородных событий, которые наступают через случайные промежутки времени. Случайные временные интервалы между наступлениями событий в потоке в потоке могут подчиняться различным законам распределения. В большинстве работ по теории массового обслуживания, особенно прикладного характера, рассматривается пуассоновский (простейший) поток, в котором вероятность поступления в промежуток времени t ровно k требований задается формулой Пуассона.

где λ – плотность потока требований.

Простейший поток теории массового обслуживания играет такую же роль, как нормальный закон распределения случайных величин в теории вероятностей.

Простейший поток обладает тремя основными свойствами: стационарностью, отсутствием последействия и ординарностью.

Случайный поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного отрезка времени зависит от его (отрезка) величины и не зависит от начала его отсчета на оси времени, то есть зависит от величины времени τ и не зависит от положения этого интервала на временной оси.

Отсутствие последействия состоит в том, что вероятность поступления за отрезок времени τ определенного числа требований не зависит от того, сколько требований уже поступило в систему, т.е. не зависит от предыстории изучаемого явления. Отсутствие последействия предполагает взаимную независимость протекания процесса в не перекрывающиеся между собой промежутки времени. Другими словами, это означает, что события, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга и вызваны каждое своими собственными причинами.

Ординарность потока требований означает практическую невозможность появления двух и более требований в один и тот же момент времени.

Важной характеристикой потока является его интенсивность, которая определяется как математическое ожидание числа требований, поступающих за единицу времени. Интенсивность потока событий – это среднее число событий, приходящееся на единицу времени.

 

Показатели эффективности обслуживающих систем.

 

Показатели эффективности завися от 3 групп факторов: характеристик качества и надежности системы; экономических показателей (стоимости системы, трудовых затрат обслуживающего персонала, убытков, связанных с несвоевременным обслуживанием и т.д.); особенностей ситуации, в которой обслуживается система (параметров потока требований, ограничений на длину очереди и т.д.).

В зависимости от условий эксплуатации системы и принятого показателя эффективности выбирается математическая модель процесса.

Наиболее часто применяемые показатели:

- вероятность потери требования (p_n);

- вероятность того, что обслуживанием занято к приборов (p_k);

- среднее число занятых приборов, характеризующая степень загрузки СМО:

;

- среднее число свободных приборов:

- коэффициент простоя приборов

- коэффициент занятости оборудования:

- среднее время ожидания требований в очереди до начала обслуживания:

где

где P_k(t_ож>t) – условная вероятность того, что время ожидания больше t, при условии, что в момент поступления требования в ней обслуживались к требований.

- вероятность того, что время ожидания в очереди не продлится больше определенной величины:

- средняя длина очереди:

где p_k – вероятность того, что в системе находится к требований.

Кроме указанных, могут использоваться стоимостные показатели, такие как: стоимость обслуживания каждого требования, стоимость потерь, связанных с простаиванием требований в очереди в единицу времени, стоимость убытков, связанных с уходом требований из очереди, стоимость эксплуатации приборов в единицу времени, стоимость единицы времени простоя прибора.

Используются следующие экономические показатели качества:

1. Стоимость потерь для систем с ожиданием:

где

q_ож – стоимость потерь, связанных с ожиданием в очереди в единицу времени;

q_пр – стоимость единицы времени простоя прибора;

q_busy – стоимость эксплуатации прибора в единицу времени;

Для системы с отказами:

Для смешанной системы: