Преобразовние платежной матрицы

Игра с природой

В отличие от задач теории игр в задачах теории статистических решений неопределенная ситуация не им. антагонистичес кой конфликтной окраски и зависит от объективной действительности, которую принято называть "природой".

В матричных играх с природой в качестве игрока II выступает совокупность неопределенных факторов, влияющих на эффективность принимаемых

решений.

Матричные игры с природой отличаются от обычных матричных игр только тем, что при выборе оптимальной стратегии игроком I уже нельзя

ориентироваться на то, что игрок II будет стремиться минимиз-вать свой проигрыш. Поэтому наряду с платежной матрицей вводится матрица рисков:

где - величина риска игрока I при использовании хода i в условиях j, равная разности между выигрышем который игрок I получил бы, если бы знал, что установится условие j, т.е.

и выигрышем , который он получит, не зная при выборе хода i, что установится условие j.

Таким образом, платежная матрица однозначно преобразу ется в матрицу рисков, а обратное преобразование неоднозначно.

Пример:

Матрица выигрышей:

Матрица рисков:

 

Возможны две постановки задачи о выборе решения в матричной игре

с природой:

- максимизация выигрыша;

- минимизация риска.

Задача принятия решений может быть поставлена для одного из двух условий:

- в условиях риска, когда известна ф-ция распределения вероятностей стратегий природы, например, случайной величины появления каждой

из предполагаемых конкретных экономических ситуаций;

- в условиях неопределенности, когда такая ф-ция распределения

вероятностей неизвестна.

Решение задач теории статести ческих решений в условиях риска

При принятии решений в условиях риска игроку I известны вероятности

, j= , наступления состояний природы.

Тогда игроку I целесообразно выбрать ту стратегию, для которой среднее значение выигрыша, взятое по строке, максимально:

При решении этой задачи с матрицей риска получаем такое же решение,соответствующее минимальному среднему риску:

Основная теорема теории игр

или теорема о минимаксе. Если – матрица игры Г и для всех и , то величины и существуют и равны между собой (эта величина и является ценой игры v).

Из теоремы следует, что всякая матричная игра имеет цену; игрок в матричной игре всегда имеет оптимальную стратегию.

Преобразовние платежной матрицы.

Чтобы цена игры была положи тельной необходимо прибывить некоторое положительное число (с), с>0.

Получим новую игру =maxα

α+c≤ v +c≤β+c

Решая новую игру, мы найдем величину v +c, тогда для исход ной игры, зная с, цену исход ной v, - не изменятся. Иногда при непосредственно рассмотрении матрицы игры можно заметить, что некоторые чистые стратегии м.б. использованы лишь с нулевой вероятностью