Раздел III дифференциальное исчисление

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Сформулируйте определение производной функции. Каков ее геометрический, экономический и механический смысл?

2. Запишите формулы производных суммы, произведения, частного двух функций. Приведите примеры.

3. Запишите формулу дифференцирования сложной функции.

4. Запишите формулы дифференцирования степенной, показательной, логарифмической и тригонометрических функций.

5. Как находится производная обратной и неявной функции?

6. Как находится производная функции, заданная параметрическими уравнениями?

7. Сформулируйте определение дифференциала функции.

8. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.

9. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида .

10. Сформулируйте достаточное и необходимое условия возрастания и убывания функции.

11. Сформулируйте определение точки экстремума функции.

12. Дайте определение критической (стационарной) точки.

13. Сформулируйте первое и второе достаточные условия экстремума.

14. Как найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке?

15. Сформулируйте условия выпуклости функции.

16. Что называется асимптотой графика функции?

17. Как определить вертикальные и наклонные асимптоты?

18. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.

 

Задачи для подготовки к тестированию:

1. Вычислить производные следующих функций:

а) ; б)

Ответ: а) ; б)

2. Вычислить производные сложных функций:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;

 

Ответ: а) ; б) ;

в) г) ; д) ; е) .

3. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой .

Ответ: .

4. Найти производную функции , заданной неявно .

5. Найти дифференциалы следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) ;

г) .

6. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя:

а) ; б) ; в)

Ответ: а) 2; б) 27; в) 1/9

7. Определить промежутки возрастания и убывания следующих функций:а) ; б) ; в) .

Ответ: а) – возрастает; б) – возрастает, – убывает; в) – возрастает, – убывает

8. Исследовать функции на экстремум:

а) ; б) г) .

Ответ: а) – максимум; б) – максимум, – минимум; г) – минимум, – максимум.

 

9. Определить интервалы выпуклости и найти точки перегиба следующих функций:

а) ; б) .

Ответ: а) – интервал выпуклости вверх, – интервал выпуклости вниз; б) – интервал выпуклости вверх, – интервалы выпуклости вниз, – точки перегиба.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из следующих функций:

а) на отрезке ; б) на отрезке .

Ответ: а) – наибольшее значение, – наименьшее значение; б) – наибольшее значение, – наименьшее значение.