Системы линейных уравнений

Глава 1

МАТРИЦЫ.

1.Матрицы. Матрицей А называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов:

Числа a ij, i= 1, m, j=1, n, называются элементами матрицы. Пара чисел (m,n) определяет размер (тип) матрицы А. Для удобства часто используется краткая запись матрицы:

Матрицы размера (m,n) образуют множество, которое будем обозначать через М(m,n). В случае, когда m=n,матрица называется квадратной. Число m=n называется порядком квадратной матрицы.

Суммой A+B матриц A, B ϵ называется матрица C ϵ ,

элементы которой равны сумме соответствующих элементов матрицы А и В:

Cij = Aij +Bij, i = 1, m, j =1, n.

Произведением λА матрицы A ϵ на число λ называется матрица

B ϵ , элементы которой равны проиведениям соответствующих элементов матрицы А на число λ:

Произведением АВ матрицы A ϵ на число λ называется матрица

B ϵ , элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на число λ:

 

 

Произведением АВ матрицы А ϵ М (_m,n) на матрицу B ϵ M (_n,k)называется матрица C ϵ , элементы C_ij которой равны сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

C_ij=

Произведение Х=А(ВС) удобно находить по схеме Фалька:

 

	B	C
A	AB	X

 

Если А – невырожденная квадратная матрица (det A≠0),то существует и притом единственная матрица А· = А= Е, где Е – единичная матрица

Чтобы найти матрицу , обратную к невырожденной квадратной матрице А, необходимо:

Вычислить определитель = det А матрицы А;

Найти алгебраические дополнения А ij каждого элемента a ij определителя ;

Составить из чисел Аij матрицу А, присоединенную к матрице А;

Транспонируя матрицу А, составить А*; умножить матрицу А* на число .В результате получим матрицу = А*, обратную к матрице А.

2.Системы линейных уравнений. Пусть задана совместная система n линейных уравнений с n неизвестными:

Введем обозначения

, . В = ,

Тогда в систему (1) можно записать в матричной форме АХ=В.

1.Правило Крамера. Если в системе (1) = det А 0,то

Где t – определитель, получаемый из определителя с заменой i-го столбца на столбец свободных членов.

2.Метод обратной матрицы. Умножая обе части уравнения (2) слева на матрицу и учитывая, что А = Е, ЕХ = Х, получим искомое решение Х = В.

3.Метод Жордана – Гаусса. Записав расширенную матрицу системы (1), с помощью элементарных преобразований ее можно привести к треугольному виду

Полученная матрица является расширенной матрицей системы

Эквивалентной системе (1). Решение системы (1`) имеет

Оно является также решением исходной системы(1)

Исследование систем линейных уравнений на местность, а также решение однородных систем в данной главе мы не рассматриваем.

Задача 1.1. Два железобетонных завода выпускали изделия M,N,P высшей, первой и второй категории качества. Количество выпущенных каждым заводом изделий по каждой категории качества характеризуется следующей таблицей:

(идет таблица)

Каков общий выпуск изделий по указанным категориям качества?

Количество изделий, выпущенных первым заводом можно рассматривать как элементы матрицы В:

(таблица)

Складывая их, получим матрицу С, определяющую общее число изделий по указанным категориям качества:

(таб)

Задача 1.2. В соответствии с программой строительно-монтажных работ установлено, что будет сооружено:

а) в отрасли Х₁ 10 единиц объектов типа 1 и 15 единиц типа 2;

б) в отрасли Х₂ 20 единиц объектов типа 3;

в) в отрасли Х₃ 100 единиц объектов типа 5.

Определить расходы строительных материалов видов p и q в каждой отрасли,если нормы расхода материалов (в соответствующих единицах измерения) приведены в следующей таблице:

(таб)

Введем матрицы: М – матрица исходных данных по объектам строительства, А – матрица норм расхода материалов:

(таб)

Тогда матрица расхода материалов p и q имеет вид

(таб)

т.е. расход материала p в отраслях Х₁, Х₂ , Х₃ соответственно составляет 170, 200,500 единиц,а материалов q соответственно 450,2000,5000 единиц.

Задача 1.3. При изготовлении строительных деталей четырех видов расход материалов, рабочей силы и электроэнергии задается таблицей(в условных единицах)

(таб)

Вычислить общую потребность материалов (у₁),рабочей силы (у₂) и электроэнергии (у₃) для изготовления заданного колличества х_i деталей каждого вида:

х₁=10, х₂ =2, х₃= 8, х₄ =4

Общая потребность в материалах,рабочей силе и электроэнергии для изготовления количества х_i деталей каждого вида определяется уравнением

Y = AX,

Где Y= (таб) - матрица общей потребности в ресурсах;