Криволинейный интеграл по координатам (II рода)

Пусть функции f₁(x, y) и f₂(x, y) непрерывны в точках дуги АВ гладкой кривой, заданной уравнением у = j(х), где х Î[a, b].

Интегральной суммой для функций f₁(x, y) и f₂(x, y) по координатам называют сумму вида (8.4),

где Dх_i и Dy_i – проекции элементарной дуги Ds на оси Ох и Оу.

Криволинейным интегралом по координатам от выражения

f₁(x, y)dx + f₂(x, y)dy по направленной дуге АВ называется предел интегральной суммы (8.4) пр и условии, что maxDx_i ® 0 и maxDу_i ® 0:

(8.5)

 

Рассмотрим основные свойства криволинейного интеграла второго рода.

1. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

(это можно связать с тем, что в отличие от Ds_i > 0, Dx_i и Dy_i могут быть и больше и меньше нуля).

 

2. Криволинейный интеграл второго рода равен сумме таких же интегралов по каждой из координат в отдельности:

.

Другие свойства аналогичны свойствам интеграла первого рода.

Криволинейный интеграл второго рода может быть вычислен по формуле: (8.6).

Аналогичная формула используется, если требуется вычислить криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой

. В этом случае (и во многих случаях плоской кривой) целесообразно использовать параметрическое задание кривой.

Пример: , где L – дуга параболы у = х², от точки А(–1; 1) до точки В(1; 1). у = j(х) = х² и j`(х) = 2х. По формуле (8.6)

.

Криволинейный интеграл II рода численно равен работе, совершаемой переменной силой `F = `if₁(x, y) + `jf₂(x, y) на соответствующем криволинейном пути АВ.

 

Формула Грина. Это важное во многих приложениях соотношение позволяет установить связь между двойным интегралом по некоторой плоской области D и криволинейным интегралом второго рода по границе L этой области. Если функции f₁(x, y) и f₂(x, y) вместе со своими частными

производными и непрерывны в замкнутой области D (включающей границу L), то справедливо соотношение (8.7)

называемое формулой Грина. (Символ означает криволинейный интеграл по

замкнутому контуру). Двойной интеграл в (8.7) вычисляется, как обычно, сведением его к двукратному. Использование (8.7) позволяет во многих случаях существенно упростить решение задачи.

 

 

Тесты

 

3.21. Область Д является правильной:

 

1) по оси Ох;

2) по оси Оу;

3) правильной.

 

 

3.22. Область Д ограничена линиями ; ; .

1) ; 2) ; 3) .

3.23. Дан . Изменив порядок интегрирования получим:

1) ; 2) ; 3) .

3.24. Объем тела, ограниченного поверхностями , , , , составит (куб.ед)

1) ; 2) 8; 3) –3; 4) .

3.25. Область V ограничена поверхностями х = 0, х = 2, у = 0, у = 3, z = 0, z = 4,

1) 696; 2) 382; 3) –154; 4) 232.

 

3.26. Объем тела, ограниченного поверхностями , составит (куб.ед):

1) ; 2) ; 3) .

3.27. Криволинейным интегралом I рода называют:

1) ;

2) ;

3) .

3.28. На полукубической параболе лежат точки А(3; 2 ) и В(8; )

1) ; 2) ; 3) - .

3.29. Для криволинейного интеграла II рода справедливо:

1) = ; 2) = - ;

3.30. Отрезок соединяет точки А(1; 1) и В(3; 4).

1) ; 2) ; 3) ; 4) .