Определение.Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интеграломот и обозначается Свойства неопределенного интеграла

1. ; 2. 3. ;

4. .

19.Табличное интегрирование.

20. Метод замены переменной интегрирования.

Вычислить интегралы методом замены переменой:

Здесь 1/(1+x²) — производная от функции arctg x. Поэтому в качестве новой переменной t возьмем arctg x. Далее — воспользуемся таблицей интегралов:

После того, как нашли интеграл от t, выполняем обратную замену:

 

 

21. Метод интегрирования по частям.

Это способ вычисления неопределенного интеграла, основанный на соотношении
(*)
где u (x) и v (x) – непрерывно дифференцируемые функции, d (u (x)) и d (v (x)) – их дифференциалы.

Для вычисления определенного интеграла справедлива аналогичная формула; разница, естественно, в том, что окончание вычисления здесь – применение формулы Ньютона-Лейбница, и выбор технической детали – пересчитывать ли пределы интегрирования при замене переменной или сначала вычислить неопределенный интеграл, а затем применить формулу Ньютона-Лейбница с пределами изменения исходной переменной. Приведём эту формулу:
. (**)

 

22. Интегрирование рациональных дробей.

Рациональной дробью называется выражение вида , где , –многочлены степеней n и m соответственно.

Если , рациональная дробь называется правильной, в противном случае – неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например, –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

–
–
–
–
		остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

где A, B, C, a, p, q –числа,

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:

Дробь 2–го типа:

Дробь 3–го типа: =[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную: ; ]= =[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]=

 

23. Определение и свойства определенного интеграла.

Определение: Функция называется интегрируемой на отрезке , если существует конечный предел её интегнральных сумм на . Обозначается: .

Свойства:

1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b], то

2. Если функции ƒ₁(х) и ƒ₂(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

3.

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

 

24. Способы вычисления определенного интеграла.

1)

2) Интегрирование заменой переменной.

3) Интегрирование по частям.