Функция, ее свойства и график

Функция с областью определения называется периодической, если существует такое число что для любого значения выполняются условия:

1)

2)

Число Т называется периодом функции.

Числа где также будут периодами функции.

Наименьший из положительных периодов, если он существует, называется основным периодом.

Значения периодической функции повторяются через период Т. Следовательно, для построения графика данной функции достаточно построить часть графика на любом из промежутков длины Т (из ), а затем произвести параллельный перенос данной части графика вдоль оси Ох на .

Если функция – периодическая и имеет период Т, то функция где A, k и также периодична, причем ее период равен

Справедливы утверждения:

1) если и – периодические функции с общим периодом Т, то функции – также периодические, с тем же периодом Т;

2) для того, чтобы периодические функции и с периодами Т ₁ и Т ₂ имели общий период Т (число Т должно нацело делиться на Т ₁ и Т ₂), необходимо и достаточно, чтобы отношение было числом рациональным.

3. Монотонность функции.

Решение. Найдем область определения функции

Последнее условие выполняется только для Вычисляем значение функции в этой точке:

Следовательно,

Пример 3. Исследовать функцию на четность:

1) 2) 3)

Решение. 1) Замечаем, что функция имеет Следовательно, функция определена на симметричном множестве.

Рассмотрим ее значение для – х:

Поскольку выполняются оба условия четности функции, заключаем, что функция – четная.

2) Функция имеет

Так как не является симметричным множеством, второе условие проверять нет необходимости. Эта функция не обладает свойством четности.

3) Очевидно, что функция имеет т. е. определена на симметричном множестве и для нее справедливо равенство:

Оба условия нечетности функции выполняются, а потому данная функция является нечетной.

Пример 4. Пусть где Причем, функция имеет период 2. Построить ее график.

Решение. Построим график данной функции на (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Исходя из определения периодической функции, должно выполняться условие: где

Строим ее график, продолжая по периоду (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Пример 5. Используя определение монотонной функции, найти значения а, при которых функция где монотонно возрастает.

Решение. Пусть Функция монотонно возрастает, если выполняется условие или Это означает, что

Поскольку последнее неравенство выполняется, если т. е.

Таким образом, функция возрастает для

Пример 6. Дана функция

Определить промежутки знакопостоянства функции, нули функции. Построить график данной функции.

Решение. Так как на каждом из данных промежутков аналитические выражения, задающие функцию, определены в каждой точке, следовательно,

1. Исследуем функцию при На данном промежутке функция принимает значение, равное 1, т. е. она знакоположительна и нулей функции нет.

2. Пусть

При таком условии функция задается формулой и Функция знакоположительна. Здесь она имеет нуль

3. Пусть

Очевидно, что при этом условии так как Нулей функции на этом промежутке нет.

Построим график:

- если строим часть прямой линии

- если – часть параболы

- если – часть прямой

Получили график заданной функции (рис. 4.4).

Рис. 4.4

Таким образом, функция знакоположительна имеет нуль

Задания

I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

3) 4)

1.2. Исследуйте функцию на свойство четности:

1) 2)

3) 4)

1.3. Найдите множество значений функции:

1) 2)

3) 4)

1.4. Определите промежутки монотонности, нули, промежутки знакопостоянства функции f (x):

1) 2)

3) 4)

1.5. Задана функция y = f (x), x Î [ a; b). Продолжите ее на всю числовую ось, как периодическую с периодом Т:

1) где

2) где

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) 2)

3) 4)

2.2. Найдите множество значений функции:

1) 2)

3) 4)

2.3. Задайте функцию аналитически:

1) линейную, если

2) квадратичную, если

3) обратную пропорциональную зависимость, если f (4) = 1.

2.4. Исследуйте функцию на четность:

1) 2)

3) 4)

2.5. Докажите, что функция:

1) убывает на

2) возрастает на

2.6. Исследуйте функцию на монотонность:

1) 2)

2.7. Постройте график функции:

1) 2)

3) 4)

Опишите свойства функции, используя график.

2.8. Пусть Известно, что функция имеет период Т = 4. Постройте ее график.

2.9. Задана функция если

1) достройте ее график по четности и продолжите на всю числовую ось с периодом Т = 8;

2) достройте ее график по нечетности и продолжите его на всю числовую ось с периодом Т = 8.

III уровень

3.1. Исследуйте функцию на четность. Найдите ее нули:

1) 2)

3.2. Найдите нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки монотонности:

Постройте график.

3.3. Дана функция Найдите промежуток, на котором она убывает.

3.4. Определите, при каком значении а функция является периодической.

3.5. Найдите функцию если:

1) 2)

3.6. Определите, при каком значении аргумента значение функции равно –1.

3.7. Определите, при каких значениях х график функции расположен выше графика функции