Решение систем линейных алгебраических уравнений. Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve

Системы линейных алгебраических уравнений можно решать также, используя команду solve. Такое решение в силу простоты записи может быть предпочтительным. Для решения система уравнений и перечень неизвестных задаются в виде множеств, то есть с использованием фигурных скобок.

solve({eq1,eq2,…},{x1,x2,…})

Если для дальнейших вычислений необходимо использовать полученные решения уравнений, то команде solve следует присвоить какое-нибудь имя name. Затем выполняется присвоения команда assign(name). После этого над решениями можно будет производить математические операции.

Решение систем из трех линейных уравнений имеет наглядную геометрическую интерпретацию – в виде точки, в которой пересекаются три плоскости, каждая из которых описывается функцией двух переменных. Это позволяет сделать функция импликативной графики implicitplot3d.

Формат:

implicitplot3d(expr1,x=a..b,y=c..d,z=p..q,<options>);

implicitplot3d(f,a..b,c..d,p..q,<options>);

 

где

f, expr1 – уравнение поверхности, которая должна быть построена;

a,b,c,d,p,q – пределы изменения соответствующих переменных;

options –параметры, с помощью которых можно в широких пределах управлять видом трехмерных графиков.

С помощью команды solve можно также решить систему неравенств. Например:

> solve({x+y>=2,x-2*y<=1,x-y>=0,x-2*y>=1},{x,y});

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание 1

Построить графики трех функций sin(x),sin(x)/x, sin(x³/100) линиями трех цветов и трех типов.

> plot([sin(x),sin(x)/x, sin(x^3/100)],
x=10..10,color=[black,blue,red],style=[line,line,point]);

Результат представлен на рисунке 5.2.

 

Рис.5.2 – Графики трех функций

Задание 2

Построить поверхность h² в цилиндрической системе координат.

> plot3d(h^2,a=-Pi..Pi,h=-5..5, coords=cylindrical, style=patch, color=sin(h));

Результат представлен на рисунке 5.3

Рис.5.3 – Пример трехмерного графика

Задание 3

Построить поверхности 2*sin(x*y), x^2+y^2-10, -x^2-y^2+10 в одной системе координат

> smartplot3d(2*sin(x*y),x^2+y^2-10,-x^2-y^2+10);

Результат представлен на рисунке 5.4.

Рис.5.4 – Поверхности, построенные в одной системе координат

Задание 4

Решить нелинейное уравнение вида y=2x²+1.25x-3.2. Выделить графически интервал изоляции корня уравнения и вычислить корень с точностью e = 10^-5.

Сеанс работы с Maple:

> restart;

> fn:=2*x^2+1.25*x-3.2; # Определение функции через оператор присваивания

> plot(fn,x=-4..4,y=-5..15);# Графическое выделение интервала изоляции корня

 

 

> ans:=evalf(solve(fn,x),5);# Pешение уравнения и присвоение значений корней переменной ans

 

 

> x1=ans[1]; # Выделение первого корня уравнения

 

> x2:=ans[2]; # Выделение второго корня уравнения

 

> subs(x=ans[1],fn););# Подстановка первого корня в уравнение

 

> subs(x=ans[2],fn););# Подстановка второго корня в уравнение

 

Задание 5

Решить тригонометрическое уравнение вида y=sin(x²)+cos(x²). Выделить графически интервал изоляции корней уравнения на отрезке [-5..5] и вычислить все корни на этом отрезке.

 

Сеанс работы с Maple:

> restart;

> fn:=sin(x^2)+cos(x^2); # Определение функции через оператор присваивания

 

> plot(fn,x=-5..5); # Графическое выделение корней на заданном интервале

 

 

> ans:=solve(fn,x); #Pешение уравнения и присвоение значений корней переменной ans

> _EnvAllSolutions:=true;# Получение всех решений

> ans:=solve(fn,x);

> x1:=ans[1]; # Выделение первого корня уравнения

> x2:=ans[2]; # Выделение второго корня уравнения

> x1*x2; # Действия над корнями

 

Задание 6

По известным данным о коэффициентах прямых затрат (а_ij) и конечном продукте(Y)в межотраслевом балансе для трех отраслей (промышленность, строительство, сфера услуг) определить общий выпуск продукции по каждой отрасли (x_ij). Исходные данные приведены в таблице 5.1.

 

Таблица 5.1. Исходные данные д ля межотраслевого баланса

Отрасль-производитель Отрасль-потребитель	Коэффициенты прямых затрат	Конечный продукт, усл. ед.
	0,1	0,3	0,2
	0,2	0,2	0,3
	0,1	0,1	0,4

 

Как известно, матричная форма записи межотраслевого баланса имеет вид

X – AX = Y, (5.1)

где А – матрица коэффициентов прямых затрат;

Y– вектор конечного продукта;

Х – вектор объемов производства.

В натуральном балансе коэффициенты прямых затрат а_ij означают расход i-той продукции на изготовление единицы j-той продукции.

В стоимостном балансе коэффициенты а_ij означают затраты i-той отрасли на каждый рубль валовой продукции j-той отрасли.

Помножив вектор Х на единичную матрицу, соотношение (5.1) можно преобразовать как

ЕХ – АХ = Y (5.2)

или

(Е – А)X = Y. (5.3)

 

При известных значениях коэффициентов прямых затрат соотношение (5.3) можно использовать для анализа и планирования и решить следующие задачи:

· определить объемы валовой продукции отраслей X₁, X₂, …, X_n по заданным объемам конечной продукции по формуле

 

Х = (Е – А)^-1Y; (5.4)

 

· определить объемы конечного продукта отраслей Y₁, Y₂, …, Y_n по заданным объемам валовой продукции X₁, X₂, …, X_n по формуле

 

Y = (E – A)X. (5.5)

 

На основании вышесказанного по данным таблицы 5.1 можно записать следующую систему уравнений:

 

X1 = 0.1X1 + 0.3X2 + 0.2X3 + 36

X2 = 0.2X1 + 0.2X2 + 0.3X3 + 11

X3 = 0.1X1 + 0.1X2 + 0.47X3 + 8

 

Превратив конечные продукты отраслей в свободные члены, получим:

 

X1 - 0.1X1 - 0.3X2 - 0.2X3 = 36

X2 - 0.2X1 - 0.2X2 - 0.3X3 = 11

X3 - 0.1X1 - 0.1X2 - 0.4X3 = 8

 

Или

 

0.9X1 - 0.3X2 - 0.2X3 = 36

- 0.2X1 + 0.8X2 - 0.3X3 = 11

- 0.1X1 - 0.1X2 + 0.6X3 = 8

 

Решение данной системы уравнений осуществляется известными методами линейной алгебры.

Найдем решение этой системы уравнений при помощи функции solve СКМ Maple.

 

Сеанс работы с Maple:

> sys:={0.9*x1-0.3*x2-0.2*x3=36,-0.2*x1+0.8*x2-0.3*x3=11,-0.1*x1-0.1*x2+0.6*x3=8}; # задание системы

уравнений

 

> ans:=solve(sys,{x1,x2,x3}); # присвоение переменной ans результатов решения системы

 

> subs(ans={x1,x2,x3},sys); # подстановка результата в уравнения системы

 

Таким образом, объемы валовой продукции отраслей X₁, X₂, X₃ составят 60, 40 и 30 усл. ед. соответственно.

 

Задания для самостоятельной работы

Задание 1. Решить нелинейное уравнение (см. таблицу 5.2). Выделить графически интервал изоляции корня уравнения, определить метод решения уравнения и вычислить корень с точностью e = 10^-4.

 

Таблица 5.2

Вариант	Уравнение	Вариант	Уравнение

 

Задание 2. Решить неравенство (см. таблицу 5.3).

 

Таблица 5.3

Вариант	Неравенство	Вариант	Неравенство
		9
5

Задание 3. Решить систему уравнений.

 

По известным данным о коэффициентах прямых затрат (а_ij) и конечном продукте (Y) в межотраслевом балансе для трех отраслей (промышленность, строительство, сфера услуг) определить общий выпуск продукции по каждой отрасли (x_ij).

Предположив, что в прогнозном периоде конечный спрос на продукцию отраслей может измениться (Y1), определить темпы роста промышленного производства.

 

Вариант 1

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,1	0,3	0,4		+20
	0,2	0,2	0,5
	0,2	0,2	0,1

 

Вариант 2

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,2	0,2	0,1
	0,5	0,3	0,2		+10
	0,2	0,1	0,4

Вариант 3

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,3	0,4	0,2
	0,2	0,1	0,3		+25
	0,1	0,5	0,2

 

Вариант 4

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,2	0,4	0,4
	0,1	0,5	0,2
	0,1	0,2	0,1		+10

Вариант 5

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,1	0,4	0,5		-5
	0,1	0,5	0,4
	0,2	0,2	0,1

 

Вариант 6

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,1	0,3	0,4		+10
	0,2	0,2	0,5
	0,2	0,2	0,1

Вариант 7

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,3	0,1	0,1
	0,4	0,3	0,5		+5
	0,5	0,2	0,1

 

Вариант 8

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,2	0,3	0,3
	0,1	0,1	0,1
	0,4	0,5	0,4		+15

 

Вариант 9

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,1	0,5	0,4
	0,2	0,2	0,1		-10
	0,2	0,4	0,4

 

Вариант 10

Отрасль	Коэффициенты прямых затрат, aij	Конечный продукт Y, млрд.руб.	Изменение конечного спроса Y1, %
	0,2	0,2	0,1		-15
	0,5	0,3	0,2
	0,2	0,4	0,3

 

Задание 4. Решить систему неравенств (см. таблицу 5.4).

 

Таблица 5.4. Вариант	Условие	Вариант	Условие

 

Задание 5. Построить поверхность (см. таблицу 5.5):

 

Таблица 5.5

Вариант	Условие	Вариант	Условие
	f = 2∙sin(xy), при x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi		f = Sin(x2+(y – 1)2) при x=-2..2, y=-1..3
	f = cos(x+y)-1 при x=-4..4, y=-4..4		f=(exy)xy при x=-1..1,y=-1..1
	f = Cos(tx) ∙sin(ty) при x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi, t=1..4		f = sin((x+2)t) при x=-10..10, t=1..20,n=1..50
	f = Sin(xy) при x=-Pi..Pi, y=-Pi..Pi		f=sin(x)×cos(x)×tan(x×y) при x=-4..4, y=-4..4
	f= при x = -10..10, y = =-Pi..Pi, t=1..4		f = при x=-4..4, y=-4..4