Распределение Максвелла и Больцмана

Максвелл

В состоянии теплового равновесия, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной . Это объясняется тем, что в газе, устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла.

рис.1 рис. 2 Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f(u), называемой функ­ци­ей распределения молекул по скоростям. , где N – общее число молекул, dN(u)- число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от u до u + du. Функция Максвелла f(u) равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей. Явный вид функции f(u) был получен теоретически Максвеллом . функции распределения-рис.1. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при u®0 и u®¥ и проходит через максимум при некоторой скорости u_В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно u_В.Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f(u). .На рис.2 показано смещение u_В с измен-ем темп-ры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла . Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости <u>. .

Больцман

Тепловое движ-е частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства. где -плотность вероятности т.е. вероятность обнаружения частицы в единичном объеме вблизи точки с радиус-вектором r. При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом функция распределения ,где n-концентрация частиц, N-полное число частиц газа.Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиус-вектором r, зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте. где n_o-концентрация частиц в том месте, где E_p=0.В этом случае вероятность .Этот закон называется распределением Больцмана. Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли и, если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то измен-е давления с высотой происходит по закону .- барометрическая формула.