Перспектива геометрических тел

Для художника важное практическое значение имеет умение строить перспективу простейших геометрических тел, таких как куб, параллелепипед, пирамида, призма, конус, цилиндр. Поэтому рассмотрим примеры построения перспективы некоторых из них.

Перспектива геометрических тел может быть фронтальной и угловой. Фронтальной называется перспектива, если плоскость картины параллельна боковым граням тела, а угловой – если плоскость картины параллельна только ребрам тела.

 

Пример 1. Построить перспективу куба, стоящего на предметной плоскости и удаленного от основания картины на 10 мм. Сторона АВ равна 30 мм и расположена параллельно картине. В этом случае перспектива будет фронтальной, и построение выполняется с помощью перспективных масштабов глубины, ширины и высоты (рис. 6.1).

 

 

 

Рис. 6.1

 

Решение. Сначала с помощью масштаба ширины и глубины построим основание куба – квадрат А_КВ_КС_КЕ_К. Для этого из произвольно выбранной точки О отложим величину ребра куба – 30 мм: О1₀ = 30 мм, и проведем из этих точек лучи в главную точку картины Р. Определим с помощью масштаба глубины расстояние от картины до перспективы стороны АВ. Так как перспектива точки A' _K удалена на 10 мм, отложим эту величину от точки О (точка 2₀) и проведем измерительный луч в точку D₁. На пересечении с лучом ОР получим перспективу точки A' _K. По масштабу ширины определим точку В '_K. Из точки В '_K проведем перспективу диагонали основания В '_K D₁ и на пересечении с ОР определим точку Е '_K. По масштабу ширины построим точку С '_K. Верхнее основание куба построим с помощью масштаба высоты. Из точки О отложим высоту ребра куба – 30 мм, и из конца этого отрезка в Р проведем масштабную линию. Из точек A' _K и Е '_K строим перпендикуляры до пересечения с масштабной линией (точки A _K и Е _K). Из точек В ' _K и С '_K проведем вертикальные прямые, а из точек A _K и Е _K – прямые, параллельные линии горизонта. На пересечении получим точки В_К и С_К.

Пример 2. Построить перспективу прямой пирамиды высотой 60 мм с квадратным основанием. Стороны квадрата – 40 мм. Угол поворота основания к картине – 30°. Центр основания пирамиды смещен влево от главной линии картины на 40 мм и удален от плоскости картины на 30 мм.

В этом случае перспектива будет угловой (рис. 6.2).

 

Решение.

1. Пользуясь масштабом ширины и глубины, определим положение центра основания пирамиды. Для этого по масштабу ширины проведем измерительный луч Р1. Отрезок Р'1₀ равен величине смещения влево от главной линии картины (40 мм). По масштабу глубины проведем измерительный луч D₁2₀. Отрезок 1₀2₀ равен величине смещения вглубь от картины (30 мм).

2. Определим направление перспектив сторон основания. Для этого через совмещенную точку зрения проведем прямые, параллельные сторонам основания под углом соответственно 30° и 60° к линии горизонта (и, естественно, перпендикулярные друг другу). Точки пересечения этих прямых с линией горизонта укажут положение точек схода попарно-параллельных сторон квадрата (F₁ и F₂).

3. С помощью перспективного делительного масштаба определим положение сторон квадрата. Для этого построим измерительные точки М₁ для сторон АЕ и СВ и М₂ для сторон АВ и СЕ. Проведем измерительные лучи М₁3₀ и М₁4₀. Отрезок 3₀4₀ равен действительной величине сторон АЕ и СВ (40 мм). Проведем измерительные лучи М₂5₀ и М₂6₀. Отрезок 5₀6₀ равен действительной величине сторон АВ и СЕ (40 мм).

4. Пользуясь масштабом высоты, построим перспективу вершины пирамиды. Поскольку положение перспективы основания вершины известно (она находится в центре основания пирамиды), воспользуемся измерительным лучом Р1₀, и от точки 1₀ отложим вертикальный отрезок, равный высоте пирамиды (60 мм), че-

 

 

 

 

 

рез конец которого проведем измерительный луч в главную точку картины Р. Точка пересечения его с линией проекционной связи из центра основания определит положение перспективы вершины пирамиды.

5. Проведем ребра пирамиды.

 

Для построения перспективы конуса и цилиндра сначала строят перспективу нижнего основания – окружность по восьми точкам, вписывая ее в перспективу квадрата, построенного аналогично примеру 1. Затем из центра квадрата по перспективному масштабу высоты строят высоту конуса аналогично примеру 2, после чего из найденной вершины конуса проводят две касательные к его основанию. Для цилиндра из восьми точек основания проводят образующие цилиндра, перспективные размеры которых определяют по масштабу высоты. Таким образом, перспектива верхнего основания строится по восьми точкам образующих без дополнительного изображения перспективы квадрата.

Перспектива интерьера

Интерьером называется внутренний вид помещения в целом или отдельных его частей.

Особенность зрительного восприятия интерьера состоит в том, что в действительности зритель должен находиться в каком-то месте этого помещения. Однако, если взять точку зрения внутри помещения и построить изображение на плоскости, не выходя за пределы угла зрения (30°–50°), то возможно будет изобразить только небольшую часть помещения. Поэтому приходится брать точку зрения за пределами изображаемого помещения.

Опыт построения интерьеров показывает, что наилучшее перспективное изображение интерьера получается, если угол построения выбирать в пределах 37°–53°. При изображении интерьера в перспективе необходимо размещение в нем предметов обстановки. Они должны быть взаимосвязаны и соизмеримы между собой, а также с размерами всего помещения и расположенных в нем окон и дверей. В связи с эти будем выполнять перспективное изображение интерьера по заданным размерам с учетом взаимного расположения предметов в помещении. В теории и практике построения интерьеров известны различные способы изображения интерьеров, в зависимости от задачи, которую ставит перед собой художник.

В данном пособии мы рассмотрим один из способов построения интерьера с помощью перспективных масштабов. В зависимости от расположения стен помещения относительно картины изображение интерьера может быть фронтальным или угловым. Если одна из стен расположена параллельно картине, то такое изображение называется фронтальной перспективой интерьера. Если стены помещения находятся под углом к картинной плоскости, то такое изображение называется угловой перспективой интерьера.

Фронтальная перспектива

Фронтальная перспектива отличается простотой построения и широко используется при построении интерьеров.

При построении композиции интерьера главную точку картины Р можно расположить на линии горизонта различно. Если точка Р располагается в самом центре картины, то изображение называется центральной фронтальной перспективой. Если точка Р смещается вправо или влево по линии горизонта, то изображение называется боковой фронтальной перспективой. При точке Р, сдвинутой влево, правая стена комнаты будет больше, чем левая, и наоборот, если точка Р сдвигается вправо, то левая стена будет больше правой (рис. 7.1).

Следовательно, в зависимости от характера композиции картины художник перемещает главную точку Р по своему усмотрению.

Построим центральную фронтальную перспективу комнаты по заданным ее размерам.

 

 

Рис. 7.1

 

Все размеры комнаты, предметов обстановки и их взаимное размещение зададим на предварительном эскизе: план комнаты и фронтальный разрез (рис. 7.2), либо план комнаты и развертка стен с указанием основных размеров.

 

 

Рис. 7.2

Как видно из плана и разреза, площадь комнаты 4 × 4 = 16 м². Высота потолка – 3 м. Дверь находится на фронтальной стене на расстоянии 1 м от левой стены. Ширина двери – 1 м, высота – 2 м. Окно расположено на правой стене и удалено от фронтальной стены на 1 м. Высота окна – 1,8 м, ширина – 2 м. Расстояние от пола до окна – 0,75 м, ширина подоконника – 0,3 м. Определим исходные данные для построения перспективы интерьера: размеры картины, условный масштаб, положение линии горизонта и дистанционной точки.

Условный масштаб и размеры рамки картины могут быть различными и зависят от выбора формата листа, на котором будет выполняться интерьер.

Высота линии горизонта выбирается в соответствии с высотой глаз человека среднего роста и обычно берется 1,5, 1,6 или 1,75 м.

Дистанционная точка D в небольших помещениях выбирается на расстоянии, равном диагонали картины.

Проведем горизонтальную прямую и примем ее за основание картины (рис. 7.3). Ниже основания картины начертим линейный масштаб, деление которого будет условно равно 1 м.

На основании картины выберем точку Р' и восстановим из нее перпендикуляр, который будет главной линией картины РР'. От точки Р' вправо и влево отложим отрезки, равные 2 м. Таким образом получим ширину помещения, равную 4 м. Из крайних точек 0 и 4 восставим перпендикуляры и отложим на них отрезки длиной по 3 м. Крайние верхние точки на вертикальных прямых соединим горизонтальной прямой. Линию горизонта проведем на высоте 1,5 м и на главной линии картины отложим точку Р. Если взять дистанционную точку и разместить ее на линии горизонта на расстоянии РD, равном диагонали картины, то точка D окажется далеко за пределами рамки картины и пользоваться ей будет неудобно. Поэтому возьмем удобную дистанционную точку D/2 и разместим ее на линии горизонта, удалив от точки Р на расстояние, равное ½ диагонали картины. В данном примере выбираем дробную дистанционную точку D₁/2 слева от Р и смещаем ее на расстояние ½ диагонали картины влево. При таком выборе дистанционной точки допустимый угол зрения будет в заданных пределах.

Далее вычертим перспективу пола. Для этого из точек 0 – 4 проведем прямые в точку Р. Таким образом, по масштабу ширины получим дорожки шириной 1 м. С помощью масштаба глубины на прямой ОР отложим расстояние, равное 4 м, и определим положение фронтальной стены. Высоту фронтальной стены определим по масштабу высоты. Для удобства построения перспективы дверного и оконного проемов и расстановки мебели разобьем пол комнаты на квадратные метры в виде сетки, состоящей из квадратов. Для этого через точки 1 – 4 на боковой стене проведем прямые, параллельные основанию картины.

Дверной проем имеет ширину 1 м и высоту 2 м, поэтому с помощью перспективной сетки нетрудно определить расположение двери. Высоту двери определим с помощью перспективного масштаба высоты. Чтобы построить перспективу полуоткрытой двери, необходимо выполнить перспективу квадрата LQRT, провести в нем диагональ и вписать окружность по восьми точкам. В данном примере дверь открывается из комнаты и может поворачиваться

 

 

 

на угол 90°, т. е. на ¼ дуги окружности. На этой дуге окружности возьмем произвольную точку Е, соединим ее прямой с центром окружности, а затем продолжим прямую до линии горизонта в точку F. Из точки F проведем прямую в верхний угол двери – точку Х. Далее из точки Е восставим перпендикуляр до пересечения с прямой FX – точка Z. Точку Е можно брать на ¼ дуги окружности в любом месте, в зависимости от того, на сколько мы желаем открыть из комнаты дверь.

Окно расположим в середине правой стены на расстоянии от пола 75 см. По сетки на полу определим размер ширины окна – 2 м, а затем восставим к полу перпендикуляры и по масштабу высоты построим перспективу окна
2 × 1,8 м. Толщину стены условно возьмем равной 30 см.

Итак, на картине получилась перспектива комнаты площадью 16 м² с полуоткрытой дверью и окном заданных размеров, без передней фронтальной стены. Зритель как бы стоит в центре основания передней стены, которая на картине не изображена или мыслится как бы прозрачной.

В случае необходимости на плане надо задать положение и размеры мебели, которые на перспективе строятся аналогично, с использованием масштабно сетки и масштаба высоты.

Угловая перспектива

При построении угловой перспективы интерьера важным вопросом является компоновка чертежа и определение на картине основных ее элементов: линии горизонта hh, главной точки Р, точек отдаления D, D₁ и угла зрения. Как уже говорилось, картина должна быть расположена в наилучшем поле зрения, т. е. с углом зрения, равным примерно 28–53°.

Допустим, что на картине ABEG заданного размера (рис. 7.4) необходимо изобразить угловую перспективу интерьера. Начертим на картине линию горизонта hh. Линию горизонта можно начертить на любой высоте от основания картины. Если поднять ее высоко, то зритель увидит бòльшую часть пола и верхние плоскости предметов: крышку стола, верхние основания полок, шкафа и т. д. Иначе говоря, будет создаваться впечатление увеличенной площади пола. Если линию горизонта значительно опустить, то этим самым можно лучше передать монументальность помещения, т. е. наиболее выпукло на картине будут показаны колонны, потолок и всевозможные лепные украшения на нем. Таким образом, в зависимости от характера композиции картины, художник выбирает высоту линии горизонта.

Итак, наметив на картине положение линии горизонта hh немного выше середины картины, возьмем на ней точку Р примерно в середине картины. Через точку Р проведем главную линию картины. Начертим на картине под произвольным углом две пересекающиеся прямые, представляющие линии пересечения стен и пола. Продолжим эти прямые до пересечения с линией горизонта в точках F₁ и F₂. Отрезок F₁F₂ разделим пополам и из середины его

 

 

начертим полуокружность. Дуга окружности пересечется с продолженной главной линией РР' в точке S. Отрезок PS будет равен расстоянию от зрителя до картины. Из точки S проведем прямые в точки F₁ и F₂. Образовавшийся угол F₁SF₂ будет равен 90°, как опирающийся на диаметр. Следовательно, перспектива пересекающихся прямых на картине представит перспективу прямого угла. Для определения угла зрения проведем из точки S прямые SL и SQ к раме картины и замерим транспортиром полученный угол LSQ. Если угол LSQ будет меньше 53°, то можно считать, что картина находится в поле лучшего зрения, а если угол LSQ будет больше этой величины, то следует изменить направление пересекающихся прямых так, чтобы точки F₁ и F₂ стояли друг от друга дальше. Отодвинув точки схода F₁ и F₂, надо снова провести дугу окружности и замерить полученный угол зрения. В данном примере угол зрения равен ≈ 48°, т. е. вполне допустимый. Высоту стен возьмем равной 2,8 м. Для этого продолжим одну из стен до пересечения с линией основания картины в точке 1₀ и восставим на нее перпендикуляр. Ниже основания картины начертим линейный масштаб, одно деление которого будет условно равно 1 м. На вертикальной прямой, проведенной через точку 1₀, отложим размер 2,8 м, т. е. отрезок 1₀R. Из точки R проведем прямую в точку схода F₁. Прямая RF₁ отсечет на главной линии РР' отрезок WZ, равный 2,8 м.

Определив перспективу одной стены, построим перспективу второй. Для этого через точку W проведем прямую в точку схода F₂. Таким образом, на картине получим перспективу двух стен комнаты высотой 2,8 м, пересекающихся под углом 90°.

Для построения перспективы двери, окна и мебели используют масштабные точки М₁ и М₂ и с помощью перспективного делительного масштаба для прямых произвольного направления расчерчивают пол комнаты на квадратные метры (т. е. строят перспективную сетку). По перспективной сетке и масштабу высоты вычерчивают все необходимые предметы.

8. практические способы построения
перспективы

Перспектива может быть построена с использованием различных элементов аппарата проецирования. Они выбираются в зависимости от характера объекта, его положения, размеров, целей работы. Построение может выполняться с одной, двумя точками схода или без них с применением точек измерения и дистанционных точек. Использование различных комбинаций этих элементов создает тот или иной способ построения перспективы.

Наиболее широко применяются способы построения перспективы объекта по его заданным ортогональным проекциям. К таким способам относятся метод Дюрера, метод следа луча, метод архитекторов и другие. Наибольшее распространение на практике получил метод архитекторов, как наиболее удобный. Поэтому, в данном пособии рассматривается построение перспективы именно этим методом.

Способ архитекторов.
Выбор точки зрения и параметры углов

Основная задача перспективы – показать, как будет выглядеть проектируемое сооружение после его возведения в конкретных условиях. Для выполнения этого необходимо соблюдать определенные условия при выборе точки зрения. Первое и непременное условие – реальность точки зрения. Выбирая точку зрения, следует мысленно проследить, как будет выглядеть проектируемое здание с улицы или участка, на котором оно расположено.

Обычно на практике выполняются два-три эскиза небольшого размера без разработки деталей, но с точным перспективным построением при различной точке зрения, после чего выбирается лучший. Затем на эскизе определяют композицию изображения: намечают окружение здания (антураж) – другие постройки, садово-парковые элементы и др.; общий характер светотени, а также рамку, обрамляющую перспективное изображение. Если подобная проверка даст положительные результаты, переходят к выполнению основной перспективы.

Точка зрения располагается на таком расстоянии от объекта, чтобы его можно было легко охватить одним взглядом. Горизонтальные углы зрения – углы между крайними лучами в плане должны находиться в пределах 30°– 40° (рис. 8.1).

Вертикальный угол зрения не должен превышать 40°. Если он превысит 40°, то следует отдалить точку зрения. Чтобы проверить вертикальный угол зрения, проводят луч S_a к ближайшему вертикальному ребру объекта, а затем, повернув его вместе с точкой зрения во фронтальное положение, проецируют на фасад на линию горизонта. Из полученной точки (S₁) надо провести луч к верхней точке ребра здания и проверить величину угла (рис. 8.2).

 

 

 

Рис. 8.1

 

Таким образом, правильный выбор точки зрения предопределяет и высоту линии горизонта, которая также должна быть реальной и зависит от поверхности земли, на которой стоит здание.

 

 

Рис. 8.2

 

Итак, предварительную, но очень важную часть работы выполняют в такой последовательности:

1) выбирают точку зрения и проверяют величину углов;

2) проводят биссектрису горизонтального угла зрения, которая является направлением главного луча;

3) перпендикулярно главному лучу проводят след картинной плоскости.

Теперь можно приступать к построению перспективы.

Метод архитекторов основан на использовании точек схода перспектив параллельных горизонтальных прямых объекта. Можно строить перспективу с двумя точками схода или с одной. Рассмотрим оба случая.

Пример 1. Построим перспективу некоторого здания, заданного своими ортогональными проекциями (рис. 8.3).

 

Решение. Ортогональные проекции можно рассматривать как план и фасад здания.

Сначала построим перспективу плана здания с использованием двух точек схода перспектив параллельных горизонтальных прямых, а затем из точек перспективы плана с помощью перспективного масштаба высоты построим перспективу высоты отдельных точек здания.

Линии контура плана могут быть разделены на два пучка параллельных прямых. Определим на ортогональном чертеже (рис. 8.3) точки схода этих параллельных прямых, для чего проведем прямые S'F'₁ и S'F ₂ ' параллельно контурам плана здания. Будем строить перспективу плана, используя точки схода F₁ и F₂ и картинные следы прямых плана.

Для нахождения следов прямых плана продолжим все прямые до пересечения со следом картинной плоскости К_Н (точки 1₀, 2₀, 3₀, 4₀, 5₀, 6₀).

Будем строить перспективу плана в масштабе 2:1 (рис. 8.4).

На свободном поле чертежа начертим основание картины (О - О). Перенесем с ортогонального чертежа высоту линии горизонта Н и проведем ее (h - h). На основании картины и линии горизонта наметим основание Р₀ и главную точку картины Р. Далее на линию горизонта перенесем точки схода F₁ и F₂, отложив отрезки РF₁ и РF₂ соответственно. На основание картины перенесем картинные следы (1₀,..., 6₀), отложив отрезки Р1₀, Р2₀ и т. д.

Проведем перспективу параллельных прямых из картинных следов 1₀, 2₀, 3₀ в точку схода F₂, а из 4₀, 5₀, 6₀ в F₁. На пересечении перспектив проведенных прямых получим перспективы точек контура плана (1 ' _К , 2 ' _К , 3 ' _К , 4 ' _К , 5 ' _К , 6 ' _К ).

Теперь из точек плана с помощью масштаба высоты построим высоту здания. Точка 4 ' _К лежит на основании картины, следовательно, ребро здания 4 '_К 4_К будет также лежать в плоскости картины и на перспективе будет в действительную величину. Возьмем высоту этого ребра (Н₁) с ортогонального чертежа (с фасада) и перенесем ее на перспективу (4 ' _К 4_К ). Из точки 4_К проведем прямую в F₁ и определим высоту ребра 6'_К 6_К. Точка 3 ' _К находится на некотором удалении от картины, поэтому для определения высоты ребра 3'_К3_К построим шкалу для определения масштаба высоты. На шкале отложим высоту ребра 3'_К3_К, взятую с фасада (Н₂) и построим шкалу высот, используя произвольную точку на линии горизонта. По масштабу высоты определяем перспективную высоту ребра 3'_К3_К. Из точки 3_К проведем перспективу конька крыши в F₁.

 

 

 

Рис. 8.3

 

Для построения высоты здания из точек 1_К, 2_К, 5_К может быть использовано любое ребро. Определим перспективную высоту ребра 5'_К5_К. Для этого на шкале масштабов отложим его действительную величину Н₃ и соединим с F₃. Аналогично ребру 3'_К3_К определяем перспективную высоту ребра 5'_К5_К, затем проводим перспективу прямой 5_К1_К в точку 5_К7_К в F₂, таким образом достроив перспективу здания.

Этот способ построения перспективы (с двумя точками схода) используется достаточно редко, так как обычно, при правильно выбранном угле зрения, точка F₁ оказывается далеко за пределами картины. В этом случае используется способ построения перспективы с одной точкой схода F₂.

 

 

Рис. 8.4

Пример 2. Построение перспективы арки с одной точкой схода (рис. 8.5).

 

Решение. Перспективу прямых, параллельных S'F'₂, строят аналогично предыдущему примеру. Для определения перспективы вершины плана (1 ' _К , 2 ' _К , 3 ' _К ) на ортогональном чертеже проводят дополнительные прямые особого положения S'1' _, S'2' _, S'3' и определяют точки пересечения этих прямых с основанием картины (1₀, 2₀, 3₀). Перспектива прямых особого положения, идущих в точку стояния, – вертикальная прямая.

Переносим картинные следы 1₀, 2₀, 3₀ на перспективный чертеж, проводим из них вертикальные прямые до пересечения с перспективами прямых, идущих в F₂, таким образом определяя вершины плана 1 ' _К , 2 ' _К , 3 ' _К . Затем из всех вершин основания восставляем перпендикуляры и с помощью масштаба высоты определяем перспективные высоты арки.

Арочный проем (полуокружность) строим упрощенным способом построения окружностей, вписав ее в квадрат (половину квадрата), лежащий в вертикальной плоскости.

 

 

 

Рис. 8.5

9. ТЕНИ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕНЕЙ

Тени являются дополнительной проекцией и придают изображению большую объемность и наглядность. Основная задача при построении теней заключается в определении контуров собственной и падающей тени.

Собственная тень – тень на неосвещенных поверхностях предмета.

Падающая тень – тень, отбрасываемая предметом на поверхность.

Форма падающей тени зависит от формы освещенного предмета и рельефа поверхности, на которую падает тень.

Падающая тень определяется как тень от контуров собственной тени. То есть следует определить контуры собственной тени и от них построить падающую. Граница падающей тени образуется лучами, касательными к освещенному предмету. Касательные лучи образуют касательные поверхности (лучевые поверхности). Касательные поверхности определяют границу собственной тени. Линии пересечения касательных поверхностей (в простейшем случае – лучевых плоскостей) с поверхностью, на которую падает тень, определяют контуры падающей тени.

Собственная тень изображается всегда светлее падающей.

Интенсивность падающей тени уменьшается при удалении от объекта.