О невычислимости в математическом мышлении 2 страница

Допустим на минуту, что перечень аксиом системыявляется конечным. Сами же аксиомы суть не что иное, как частные случаи соответствующих теорем. Однако неопровержимую истинность каждой теоремы мы можем, в принципе, постичь посредством математического понимания и интуиции. Следовательно, каждая аксиома в отдельности должна выражать нечто такое, что по крайней мере, в принципе, постижимо посредством этого самого математического понимания. Иными словами, для каждой отдельной аксиомы когда-нибудь непременно настанет (либо принципиально возможно, что настанет) время, когда ее неопровержимая истинность будет однозначно установлена. Так, рассматривая одну за другой, мы сможем устанавливать истинность любой отдельно взятой аксиомы системыТаким образом, в конечном итоге будет установлена (либо принципиально возможно, что будет установлена) неопровержимая истинность всех отдельно взятых аксиом. Соответственно, настанет время, когда будет установлена неопровержимая истинность всей совокупности аксиом системыв целом.

А как быть с правилами действия? Можем ли мы предположить, что настанет время, когда будет однозначно установлена неопровержимая обоснованность этих правил? Во многих формальных системах правилами действия служат достаточно простые утверждения, каждое из которых с очевидностью «неопровержимо», например: «Если установлено, что высказывание является теоремой и высказываниеявляется теоремой, то можно заключить, что высказываниетакже является теоремой» (относительно символа«следует» см. НРК, с. 393, или [222]). Признать неоспоримую справедливость таких правил совсем не трудно. С другой стороны, среди правил действия встречаются и гораздо более тонкие отношения, справедливость которых вовсе не так очевидна; прежде чем прийти к однозначному решению относительно того, считать то или иное такое правило «неопровержимо обоснованным» или нет, нам, возможно, потребуется прибегнуть к весьма подробному и тщательному анализу. Более того, как мы вскоре убедимся, в наборе правил действия формальной системынеизбежно имеются такие правила, неоспоримая обоснованность которых не может быть достоверно установлена ни одним математиком — причем мы все еще полагаем, что число аксиом в системеконечно.

В чем же причина? Перенесемся в воображении в то самое время, когда уже однозначно установлена неопровержимая справедливость всех аксиом формальной системыПеред нами открывается замечательная возможность без помех рассмотреть всю системуцеликом. Попробуем допустить, что все правила действия системыможно также считать справедливыми безо всяких оговорок. Хотя предполагается, что мы еще не можем знать наверняка, что системадействительно включает в себя всю математику, которая в принципе доступна человеческому пониманию и интуиции, мы должны к настоящему моменту, по меньшей мере, уже убедиться в том, что системаявляется неоспоримо обоснованной, поскольку справедливость как ее аксиом, так и ее правил действия безоговорочно нами принимается. Следовательно, мы также должны уже быть уверены в том, что система непротиворечива. Не забываем, разумеется, и о том, что, в силу этой непротиворечивости, утверждениетакже должно быть истинным — более того, неопровержимо истинным! Однако, поскольку предполагается, что системафактически (хотя нам об этом неизвестно) включает в себя всю совокупность того, что безоговорочно доступно нашему пониманию, утверждение должно на деле представлять собой теорему системыСогласно теореме Гёделя, такое, вообще говоря, возможно только в том случае, если формальная системапротиворечива. Если же система F противоречива, то одной из теорем этой системы является утверждениеСледовательно, утверждение должно быть, в принципе, доступно нашему математическому пониманию — очевидное противоречие!

Несмотря на это, следует, по крайней мере, учесть саму возможность того, что математики действуют (не зная о том) в рамках системыкоторая является, по существу, необоснованной. К этому вопросу я еще вернусь в §3.4, пока же (в пределах данного раздела) будем полагать, что на самом деле процедуры, лежащие в основе математического понимания, целиком и полностью обоснованны. При данных обстоятельствах, если мы продолжаем настаивать на том, что все правила действия нашей формальной системыс конечным набором аксиом безоговорочно истинны, нам остается лишь признать, что противоречие действительно имеет место. Следовательно, среди правил действия системыдолжно быть по крайней мере одно правило, обоснованность которого не может неопровержимо установить ни один математик (хотя в действительности это правило является обоснованным).

Все вышеприведенные рассуждения опирались на то допущение, что система задается конечным набором аксиом. В качестве возможного альтернативного решения можно предположить, что количество аксиом в системебесконечно. Относительно этой возможности необходимо сделать некоторые комментарии. Для того чтобы системуможно было определить как формальную в требуемом смысле — т. е. как систему, в рамках которой всегда можно однозначно установить (посредством некоторой заранее заданной вычислительной процедуры), что предполагаемое доказательство того или иного положения действительно является доказательством в соответствии с правилами системы, — необходимо, чтобы ее бесконечный набор аксиом можно было выразить каким-то конечно определяемым образом. Вообще говоря, всегда допускается некоторая свобода в отношении выбора конкретного способа представления формальной системы, в соответствии с которым операции системы определяются либо как аксиомы, либо как правила действия. Так, стандартная аксиоматическая система теории множеств — система Цермело—Френкеля (обозначаемая здесь как) — включает в себя бесконечное количество аксиом, выражаемых посредством структур, называемых «схемами аксиом». Путем соответствующего переформулирования системуможно выразить таким образом, что количество действительных аксиом станет конечным). Более того, действуя определенным образом, такое можно проделать с любой схемой аксиом, являющейся «формальной» в требуемом нами вычислительном смысле.

Может создаться впечатление, что вышеприведенное рассуждение (целью которого является исключение из списка возможных вариантов случаяприменимо к любой (обоснованной) системевне зависимости от того, конечно или бесконечно количество ее аксиом. Это и в самом деле так, однако в процессе приведения бесконечной схемы аксиом к конечному виду мы можем ввести новые правила действия, которые могут оказаться не столь самоочевидно обоснованными. Так, представляя себе, в соответствии с вышеизложенными соображениями, времена, когда нам станут известны все аксиомы и правила действия системы (при этом также предполагается, что все теоремы этой гипотетической системы в точности совпадают с теоремами, которые в принципе доступны человеческим пониманию и интуиции), мы никоим образом не можем быть уверены в принципиальной возможности неопровержимого установления обоснованности правил действия такой системыв отличие от ее аксиом (даже если эти правила действительно являются обоснованными). Дело в том, что, в отличие от аксиом, правила действия не принадлежат к теоремам формальной системы. Мы же полагаем, что неопровержимо установить можно лишь обоснованность теорем системы

Не совсем ясно, возможно ли продолжить данное рассуждение, оставаясь при этом в рамках строгой логики. Если мы полагаем справедливой возможностьто нам приходится признать, что существует некая формальная система(на основании которой человек постигает истинность-высказываний), целиком и полностью понимаемая математиками, обладающая конечным набором аксиом, справедливость которых не вызывает никаких сомнений, и конечной системой правил действиякоторая, впрочем, содержит по крайней мере одну операцию, полагаемую фундаментально сомнительной. Каждая отдельно взятая теорема системынеизбежно оказывается утверждением, истинность которого может быть неопровержимо установлена, — что, собственно говоря, удивительно, учитывая тот факт, что многие из этих теорем выводятся с помощью сомнительных правил системыКроме того, хотя математик и может (в принципе) установить истинность каждой из упомянутых теорем в отдельности, единообразной процедуры для этого не существует. Можно ограничить область рассмотрения теми теоремами системы которые представляют собой-высказывания. Применяя сомнительную систему правилмы можем вычислительным способом сгенерировать перечень тех-высказываний, справедливость которых может быть однозначно установлена математиками. В конечном счете, человек, воспользовавшись пониманием и интуицией, оказывается способен установить справедливость каждого из этих-высказываний в отдельности. Однако в каждом конкретном случае для такого установления применяются методы рассуждений, существенно отличающиеся от правила с помощью которого было получено данное-высказывание. Раз за разом нам приходится добавлять в систему все новые, все более изощренные плоды человеческого разума — с тем, чтобы можно было неопровержимо доказать истинность каждого последующего-высказывания. Словно по волшебству, истинными оказываются все-высказывания, впрочем истинность некоторых из них можно установить лишь после привлечения какого-либо фундаментально нового метода рассуждения, причем необходимость в этом возникает вновь и вновь, на все более глубоких уровнях. Более того, любое-высказывание, неоспоримую истинность которого можно установить — причем неважно, каким методом, — оказывается уже включенным в тот самый перечень, который мы сгенерировали ранее с помощью системы правилНаконец, существует еще и особое истинное-высказываниекоторое явным образом выводится из знания формальной системыоднако истинность которого не может быть неопровержимо установлена ни одним математиком. В лучшем случае, математик сможет понять, что истинностьнепосредственно обусловлена обоснованностью сомнительной системы правил действиякоторая, по всей видимости, обладает некоей чудесной способностью определять, истинность каких именно II1-высказываний может быть неопровержимо установлена человеком.

Могу себе представить, что кому-то все это, возможно, покажется не совсем бессмысленным. Ко многим своим выводам математики приходят на основании предпосылок, которые можно назвать «эвристическими принципами» — такой принцип не дает непосредственного доказательства предполагаемого вывода, однако дает основания ожидать, что истинным неизбежно окажется именно такой вывод. Собственно доказательство может быть получено и позднее, причем совершенно иными методами. Мне, однако, представляется, что подобные эвристические принципы имеют на деле очень мало общего с нашей гипотетической системой правилВ сущности, такие принципы способны лишь углубить наше сознательное понимание причин, в соответствии с которыми оказывается истинным тот или иной математический вывод. Впоследствии, в результате более серьезной разработки соответствующих математических методов, часто становится вполне ясно, почему именно сработал тот или иной эвристический принцип. В большинстве же случаев вполне проясняется лишь один вопрос: при каких именно обстоятельствах данный эвристический принцип гарантированно работает, а при каких — нет; иначе говоря, если не соблюдать известной осторожности, можно прийти к весьма и весьма ошибочным выводам. Если же осторожность соблюдена, сам такой принцип становится чрезвычайно мощным и надежным инструментом математического доказательства. Он не снабдит вас сверхъестественно достоверной алгоритмической процедурой для установления справедливости-высказываний, причины успешного функционирования которой будут принципиально недоступны человеческому пониманию, вместо этого он предоставит средства для углубления вашего математического понимания и усиления вашей же интуиции. А в этом, согласитесь, есть нечто, в корне отличное от алгоритма (или формальной системы), описанного в соответствии с возможностью Более того, никто никогда и не предлагал эвристического принципа, позволившего бы сгенерировать в точности все-высказывания, истинность которых может быть однозначно установлена математиками.

Разумеется, из всего этого вовсе не следует, что упомянутый алгоритм(гипотетическая машина Гёделя для доказательства теорем) является логически невозможным; однако, с позиции нашего математического понимания, вероятность существования такой машины представляется исключительно малой. Во всяком случае, в настоящее время ни у кого пока нет ни малейшего предположения относительно возможной природы подобного алгоритма, равно как нет и никаких намеков на его действительное существование. Он может существовать, в лучшем случае, в качестве гипотезы — причем гипотезы недоказуемой. (Ее доказательство будет равносильно ее опровержению!) Мне думается, что со стороны любого из сторонников идеи ИИ (независимо от того, принадлежит он к лагерю) является в высшей степени безрассудным возлагать какие бы то ни было надежды на отыскание такой алгоритмической процедуры (обобщенной здесь в виде алгоритма), само существование которой крайне сомнительно, а точное построение (существуй она в действительности) едва ли по силам любому из ныне живущих математиков или логиков.

Можно ли допустить, что подобный алгоритмвсе же существует и, более того, может быть получен с помощью достаточно сложных вычислительных процедур восходящего типа? В, в рамках обсуждения случаяя приведу серьезные логические доводы, убедительно демонстрирующие, что ни одна из познаваемых восходящих процедур не в состоянии привести нас к алгоритмудаже если бы он и в самом деле существовал. Таким образом, можно заключить, что в качестве сколько-нибудь серьезной логической возможности нельзя рассматривать даже «гёделеву машину для доказательства теорем» — если, конечно, не допустить, что в основе всего математического понимания в целом лежат некие «непознаваемые механизмы», природа которых, увы, не оставляет поборникам ИИ ни единого шанса.

Прежде чем мы перейдем к обещанному более подробному обсуждению случая, необходимо разобраться до конца со случаем— здесь остается еще одна альтернатива, суть которой заключается в том, что фундаментальная алгоритмическая процедура(или формальная система) может оказаться необоснованной (случай, как мы помним, такой лазейки не допускал). Может ли быть так, что математическое понимание человека представляет собой эквивалент некоего познаваемого алгоритма, который в основе своей ошибочен? Рассмотрим эту возможность подробнее.

3.4. Не действуют ли математики, сами того не осознавая, в соответствии с необоснованным алгоритмом?

Допустим, что в основе математического понимания и в самом деле лежит некая необоснованная формальная система F. Как же мы тогда можем быть уверены в том, что наши математические представления в отношении того, что считать неоспоримо истинным, не введут нас в один прекрасный день в какое-нибудь фундаментальное заблуждение? А может, это уже случилось? Ситуация несколько отличается от той, что рассматривалась в связи со случаем, где мы исключили возможность нашего знания о том, что некая системаи в самом деле является необоснованной. Здесь же мы допускаем, что подобная роль системы принципиально непознаваема, вследствие чего нам придется повторно рассмотреть вариант с возможной необоснованностью Можно ли считать действительно правдоподобным предположение о том, что фундаментом для наших неопровержимых математических убеждений служит некая необоснованная система -настолько необоснованная, что одним из этих убеждений может, в принципе, оказаться уверенность в истинности равенства Несомненно одно: если мы не можем доверять собственным математическим суждениям, то мы равным образом не можем доверять и всем остальным своим суждениям об устройстве и функционировании окружающего нас мира, поскольку математические суждения составляют весьма существенную часть всего нашего научного понимания.

Кто-то, тем не менее, возразит, что нет ничего невероятного в том, что какие-то современные общепринятые математические суждения (или суждения, которые мы будем считать неоспоримыми в будущем) содержат скрытые «врожденные» противоречия. Возможно, они даже сошлются на тот знаменитый парадокс (о «множестве множеств, которые не являются элементами самих себя»), о котором Бертран Рассел писал Готтлобу Фреге в 1902 году, как раз тогда, когда Фреге собирался опубликовать труд всей своей жизни, посвященный основам математики (см. также комментарий к возражениюи НРК, с. 100). В приложении к книге Фреге писал (см. [126]):

Вряд ли с ученым может приключиться что-либо более

нежеланное, чем потрясение основ его мировоззрения

сразу вслед за тем, как он закончил изложение их на бумаге. Именно в такое положение поставило меня письмо от г-на Бертрана Рассела...

Разумеется, мы всегда можем сказать, что Фреге просто-напросто ошибся. Всем известно, что математики иногда допускают ошибки — порой даже весьма серьезные. Более того, как явствует из признания самого Фреге, его ошибка была вполне исправимой. Разве мы не убедились (вкомментарий к) в том, что подобные исправимые ошибки не имеют к нашим рассуждениям никакого отношения? Мы рассматриваем здесь, как и влишь принципиальные вопросы, а не подверженность ошибкам отдельных представителей математического сообщества. Ошибки же, на которые можно указать, ошибочность которых можно однозначно продемонстрировать, вовсе не принадлежат к категории принципиальных вопросов, разве нет? Все так, однако ситуация, рассматриваемая нами в настоящий момент, несколько отличается от той, что обсуждалась в комментарии к возражениюпоскольку теперь у нас есть формальная система, которая, возможно, лежит в основе нашего математического понимания, только мы об этом не знаем. Как и прежде, нас не занимают единичные ошибки — или «оговорки», — которые может допустить отдельный математик, рассуждая в рамках какой-то в общем непротиворечивой системы. Однако теперь речь идет еще и о том, что сама система может содержать в себе некие глобальные противоречия. Именно это и произошло в случае с Фреге. Не узнай Фреге о парадоксе Рассела (или ином парадоксе сходной природы), вряд ли кто-либо смог бы убедить его в том, что в его систему вкралась фундаментальная ошибка. Дело не в том, что Рассел указал на какое-то формальное упущение в рассуждениях Фреге, а Фреге признал наличие ошибки, руководствуясь собственными канонами построения умозаключений; нет, Фреге продемонстрировали, что в самих этих канонах содержится некое изначальное противоречие. И именно факт наличия противоречия, а не что-либо иное, убедило Фреге в том, что его рассуждения ошибочны, а то, что прежде представлялось несокрушимой истиной, на деле фундаментально неверно. При этом о существовании ошибки стало известно только благодаря тому, что вскрылось противоречие. Если бы факт противоречивости установлен не был, то математики могли бы еще долгое время считать предложенные Фреге методы построения умозаключений вполне достоверными и даже, возможно, строили бы на их фундаменте собственные системы.

Впрочем, полагаю, в данном случае крайне маловероятно, что многим математикам удалось бы в течение сколько-нибудь длительного срока наслаждаться той свободой умопостроений (в отношении бесконечных множеств), какую предоставляла система Фреге. Причина в том, что парадоксы типа парадокса Рассела довольно легко обнаружить. Можно представить себе какой-нибудь гораздо более тонкий парадокс, например, такой, что неявным образом содержится в тех или иных полагаемых нами на данный момент неопровержимо истинными математических процедурах — парадокс, о котором никто не узнает еще, быть может, многие века. Необходимость в смене привычных правил мы осознаем лишь тогда, когда такой парадокс наконец себя проявит. Короче говоря, наша математическая интуиция не зиждется на каких-то непреходящих в веках установлениях, но непрерывно меняется под сильным воздействием идей, которые прекрасно «работали» прежде, и соображений, последствия применения которых пока что «сходят нам с рук». Такая точка зрения отнюдь не исключает возможности существования в основе нашего теперешнего математического понимания некоего алгоритма (или формальной системы), однако этот алгоритм не является чем-то неизменным, по мере обнаружения новых данных он подвергается непрерывной модификации. К изменяющимся алгоритмам мы еще вернемся несколько позднее где и убедимся в том, что это по-прежнему все те же алгоритмы, только в ином обличье.

Разумеется, с моей стороны было бы наивным отрицать тот факт, что в методах, которые применяют в своей работе математики, нередко присутствует элемент «доверия» процедуре, если она «до сих пор, кажется, работает». В моей собственной математической практике такие предварительные, ориентировочные, нечеткие соображения составляют в общей совокупности рассуждений весьма заметный процент. Однако они, как правило, обретаются в той области, которая «отвечает» за нащупывание нового, еще не сформировавшегося понимания, а никак не в той, где мы «складываем» неопровержимо, на наш взгляд, установленные истины. Я очень сомневаюсь, что сам Фреге так уж категорически полагал свою систему абсолютно неопровержимой, даже не подозревая еще о парадоксе, о котором написал ему Рассел. Система суждений столь общего характера, что бы ни думал по ее поводу автор, всегда выдвигается на всеобщее обозрение с некоторой настороженностью. Лишь после длительного «периода осмысления» можно будет полагать, что она достигла, наконец, «уровня неопровержимости». Имея же дело с системой настолько общей, как система Фреге, в любом случае, как мне кажется, следует употреблять выражения вида «полагая систему Фреге обоснованной, можно считать справедливым то-то и то-то», а не просто утверждать эти самые «то-то и то-то» без упомянутой оговорки. (См. также комментарии к возражениям и.

Возможно, в настоящее время математики стали более осторожными в отношении того, что они готовы рассматривать как «неопровержимую истину» — эпоха осторожности сменила эпоху отчаянной дерзости (среди примеров которой работа Фреге занимает далеко не последнее место), пришедшуюся на конецстолетия. С выходом на сцену парадокса Рассела и прочих ему подобных необходимость в такой осторожности проявляется особенно наглядно. Что же касается дерзости, то она, по большей части, уходит корнями в те времена, когда математики начали потихоньку осознавать всю мощь канторовой теории бесконечных чисел и бесконечных множеств, выдвинутой им в начале того жевека. (Следует, впрочем, отметить, что сам Кантор знал о парадоксах, подобных парадоксу Рассела, — задолго до того, как сам Рассел обнаружил тот, что был назван его именем), — и предпринимал попытки усовершенствовать свою формулировку с тем, чтобы, по возможности, учитывать подобные проблемы.) Цели и характер моих рассуждений на этих страницах также, несомненно, требуют крайней осторожности. И я безмерно рад, что нам с вами приходится иметь дело только с утверждениями, истинность которых неопровержима, и что нет никакой необходимости влезать в дебри бесконечных множеств и прочих сомнительных понятий. Важно помнить, что где бы мы ни провели черту, полученные с помощью доказательства Гёделя утверждения всегда остаются в рамках неопровержимо истинного (см. также комментарий к возражению). Само по себе доказательство Гёделя (—Тьюринга) не имеет абсолютно никакого отношения к вопросам, связанным с сомнительным существованием бесконечных множеств определенного сорта. Неясности, касающиеся тех самых исключительно вольных рассуждений, столь занимавших Кантора, Фреге и Рассела, ничуть не занимают нас — до тех пор, пока они остаются «сомнительными», не претендуя на звание «неопровержимых». Коль скоро мы со всем этим согласны, я никак не могу счесть правдоподобным допущение, согласно которому математики действительно используют в качестве основы для своего математического понимания и убеждений какую-либо необоснованную формальную систему F. Я надеюсь, читатель согласится с тем, что вне зависимости от того, возможна такая ситуация или нет, она, во всяком случае, невероятна.

Наконец, в связи с возможной необоснованностью нашей гипотетической системы, вернемся ненадолго к другим аспектам человеческой «неточности», о которых мы говорили выше (см. комментарии к возражениям). Прежде всего повторюсь, нас в данном случае интересуют не вдохновение, не гениальные догадки и не эвристические критерии, способные привести математика к великим открытиям, но лишь понимание и проникновение в суть, на фундаменте которых покоятся его неопровержимые убеждения в отношении математических истин. Эти убеждения могут оказаться всего-навсего результатом ознакомления с рассуждениями других математиков, и в этом случае о каких бы то ни было элементах математического открытия говорить, разумеется, не приходится. А вот когда мы нащупываем путь к какому-то подлинному открытию, и впрямь весьма важно дать размышлениям свободу, не ограничивая их изначально необходимостью в полной достоверности и точности (у меня сложилось впечатление, что именно это имел в виду Тьюринг в приведенной выше цитате, см.). Однако когда перед нами встает вопрос о принятии или отклонении тех или иных доводов в поддержку неопровержимой истинности выдвигаемого математического утверждения, необходимо полагаться лишь на понимание и проницательность (нередко в сопровождении громоздких вычислений), которым ошибки принципиально не свойственны.

Я вовсе не хочу сказать, что математики, полагающиеся на понимание, не делают ошибок, — делают, и даже часто: понимание тоже можно применить некорректно. Безусловно, математики допускают ошибки и в рассуждениях, и в понимании, а также в сопутствующих вычислениях. Однако склонность к совершению подобных ошибок, в сущности, не усиливает их способности к пониманию (хотя я, пожалуй, могу представить себе, каким образом подобные случайные обстоятельства могут порой привести человека к нежданному, скажем так, озарению). Что более важно — эти ошибки исправимы, их можно распознать как ошибки, когда на них укажет какой-либо другой математик (или даже впоследствии сам автор). Совсем иначе обстоит дело, когда понимание математика контролируется некоей внутренне ошибочной формальной системойв рамках такой системы невозможно распознать ее собственные ошибки. (Что касается возможности существования самосовершенствующейся системы, которая модифицирует самое себя всякий раз, как обнаруживает в себе противоречие, то о ней мы поговорим несколько позднее, «на подступах» к противоречиюТам же мы и обнаружим, что и от такого предположения в данном случае пользы мало; см. также)

Ошибки несколько иного рода возникают при неверной формулировке математического утверждения; в этом случае выдвигающий утверждение математик, возможно, имеет в виду нечто совсем отличное от того, что он буквально утверждает. Впрочем, такие ошибки также исправимы и не имеют ничего общего с теми внутренними ошибками, причиной которых является понимание, опирающееся на необоснованную систему(Здесь уместно вспомнить фразу Фейнмана, которую мы цитировали в связи с возражением«Не слушайте, что я говорю; слушайте, что я имею в виду!»). Мы с вами здесь для того, чтобы выяснить, что, в принципе, может (либо не может) быть установлено каким угодно математиком (человеком); ошибки же, подобные только что рассмотренным, — т.е. исправимые ошибки — никакого отношения к этой проблеме не имеют. Важнейший, пожалуй, для всего нашего исследования момент: круг идей и понятий, доступных математическому пониманию, непременно должен включать в себя центральную идею доказательства Гёделя—Тьюринга; на этом, собственно, основании мы и не рассматриваем всерьез возможность, а возможностьполагаем крайне невероятной. Как уже отмечалось выше (в комментарии к возражению), идея доказательства Гёделя—Тьюринга, безусловно, должна являться частью того, что, в принципе, в состоянии понять математик, даже если какое-то конкретное утверждение, на котором этот математик, возможно, основывается, ошибочно — лишь бы ошибка была исправимой.

С возможной «необоснованностью» предполагаемого алгоритма математического понимания связаны и другие вопросы, о которых не следует забывать. Эти вопросы касаются процедур «восходящего» типа — таких, к примеру, как самоусовершенствующиеся алгоритмы, алгоритмы обучения (в том числе и искусственные нейронные сети), алгоритмы с дополнительными случайными компонентами, а также алгоритмы, операции которых обусловлены внешним окружением, в котором функционируют соответствующие алгоритмические устройства. Некоторые из упомянутых вопросов были затронуты ранее (см. комментарий к возражению), подробнее же мы рассмотрим их при обсуждении случая, к каковому обсуждению мы как раз и приступаем.

3.5. Может ли алгоритм быть непознаваемым?

В соответствии с вариантом, математическое понимание представляет собой результат выполнения некоего непознаваемого алгоритма. Что же конкретно означает определение «непознаваемый» применительно к алгоритму? В предшествующих разделах настоящей главы мы занимались вопросами принципиальными. Так, утверждая, что неопровержимая истинность некоторого-высказывания доступна математическому пониманию человека, мы, по сути, утверждали, что данное-высказывание постижимо в принципе, отнюдь не имея в виду, что каждый математик когда-нибудь да сталкивался с реальной демонстрацией его истинности. Применительно к алгоритму, однако, нам потребуется несколько иная интерпретация термина «непознаваемый». Я буду понимать его так: рассматриваемый алгоритм является настолько сложным, что даже описание его практически неосуществимо.