Сложив эти формулы, получим

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Пример 3

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление комплексных чисел

Пример 4

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Составим частное:

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

 

Абсолютная погрешность - это разница между результатом измерения Xизм и истинным (действительным) значением Xд измеряемой величины.

Относительная погрешность - это отношение абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины.

ЛОГАРИФМ.

Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, a > 0, a =1 ) называют показатель степени, в который нужно возвести число a, чтобы получить число b:

alogab = b

Рассмотрим утверждения и правила, позволяющие решить уравнения.

Представим: loga x = b - это простейший вид логарифмического уравнения.
Если a > 0, a ≠ 1, то можно смело утверждать, что уравнение при любом значение b имеет решение x = a^b (a в степени b).

Помните свойства логарифмической функции, что помогут при решении:
1) Область определения - множество только положительных чисел.
2) Область значения - множество действительных чисел.
3) Если a > 1 логарифмическая функция строго возрастает, в обратном случае - строго убывает.
4) loga 1 = 0 и loga a = 1, следует учесть, что a > 0, a ≠ 1.
5) И последнее - Если a > 1, то функция выпукла вверх.

При решение логарифмических уравнений лучше использовать равносильное преобразование. Учитывайте преобразования, которые могут привести и к потере корней. Используйте определения и все свойства логарифма при решении.

Также можно использовать метод подстановки. Метод позволяет заменять логарифм другим значением, например - t, после решения восстановив логарифм.

Напишем одну под другой формулы синуса суммы и синуса разности:

Сложив эти формулы, получим

или

Поступая аналогичным образом с формулами косинуса суммы и разности, получим:

откуда получаются такие формулы: