Кратные и криволинейные интегралы»

Измените порядок интегрирования.

Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями

	а). ,	б).
	а). ,	б).
	а). ,	б).
	а). , ,	б).
	а). ,	б).
	а). , ,	б).
	а). ,	б).
	а). , , ,	б).
	а). ,	б).
	а). , ,	б).
	а). , ,	б).
	а) , ,	б)
	а) ,	б)
	а) , , ,	б)
	а) ,	б)
	а) , ,	б)
	а) ,	б)
	а) ,	б)
	а) ,	б)
	а) , ,	б)
	а) ,	б)
	а) , ,	б)
	а) , ,	б)
	а) , ,	б)
	а) , , ,	б)
	а) , ,	б)
	а) ,	б)
	а) ,	б)
	а) ,	б)
	а) , , ,	б)

Вычислить двойной интеграл

Вариант

	; , ,
	; , ,
	; , ,
	; , ,
	; , ,
	; , , ,
	; , ,
	; , , ,
	; -треугольник с вершинами , ,
	; -треугольник с вершинами , ,
	; -определена неравенствами ,
	; , , , , ,
	; ,
	; , ,
	; ,
	; -определена неравенствами ,
	; , ,
	; - прямоугольник
	; - прямоугольник
	; , , ,
	; , , ,



	; - определена неравенствами ,
	; D – круговой сектор, ограниченный линиями: , ,
	; D:
	; D: , , ,
	; D: , , ,
	; D – круг

Вычислить криволинейный интеграл второго рода по данной линии в указанном направлении.

	; L – дуга линии ,
	; L – дуга линии от A(0;0) до B(1;1)
	; L – отрезок прямой от A(1;1) до B(2;2)
	; L – дуга линии ,
	; L – дуга кривой от A(0;1) до B(1;е)
	; L – дуга кривой от до
	; L – дуга кривой от A(0;1) до B(1;а)
	; L – дуга кривой , ,
	; L – дуга кривой , ,
	; L – дуга окружности , ,
	; L – дуга эллипса , ,
	; L – дуга кривой , , ,
	; L – дуга кривой , , ,
	; L – отрезок прямой от A(0;0;0) до B(1;1;1)
	; L – дуга кривой , , ,
	; L – дуга кривой , , ,
	; L – отрезок прямой от A(0;0;0) до B(1;1;1)
	; L – дуга линии , , ,
	; L – окружность
	; L – эллипс
	; L – дуга параболы от A(0;0) до B(1;2)
	; L – дуга эллипса , против хода часовой стрелки.
	; L_ABO – ломанная ABO, О(0;0), A(1;2), B(;3) при положительном обходе
	; L – отрезок прямой от О(0;0) до A(1;2)
	; L – дуга параболы , расположенная под осью ОХ и пробегающая по ходу часовой стрелки
	; L – отрезок прямой от A(1;2) до B(3;6)
	; L – кривая от A(0;1) до B(-1;е)
	; L – дуга верхней половины эллипса , , по ходу часовой стрелки
	; L – дуга параболы от А(0;0) до В(2;1)
	; L – окружность

С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями. Сделайте чертеж.

Вариант

	, , ,
	, , , ,
	, , , ,
	, , ,
	, , ,
	, , ,
	, ,
	,
	, , ,
	, , , ,
	, , ,
	, , ,
	, ,
	, ,
	, , ,
	, ,
	, , ,
	, , , ,
	,
	, ,
	, ,
	; , ,
	; ,
	; ; ,
	; ,
	, ,
	, ,
	, , ,
	, ,
	,

Решение типового варианта

1. Изменить порядок интегрирования:

Решение.

Для первого интеграла область интегрирования ограничена линиями , , , и представляем криволинейную фигуру ОАВ.

Для второго интеграла область интегрирования ограничена линиями , , , . Уравнение можно преобразовать к виду (верхняя дуга окружности т.к. ).

Окружность и прямая , при условии , пересекаются в точке А(1;1).

Данную сумму интегралов можно записать в виде одного повторного интеграла с областью интегрирования ОАС.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями.

а). ,

Решение

Площадь

Данная область ограничена снизу параболой , сверху – параболой . Параболы пересекаются в точках О(0;0) и А(3;3).

(кв.ед.)

б).

Решение

Так как , то . То есть . Изобразим фигуру, ограниченную данной линией:

Полюс О лежит на границе области D, поэтому площадь фигуры равна:

(кв.ед.)

3. Вычислить двойной интеграл.

; ,

Решение Изобразим область D в прямоугольной системе координат:

Область D ограничена снизу параболой , а сверху – прямой . Тогда:

4.Вычислить криволинейный интеграл второго рода

; , , .

Решение.

Равенства , , задают астроиду. Изобразим астроиду в прямоугольной системе координат:

Поскольку , , то

5. С помощью тройного интеграла найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями.

, , .

Решение.

Равенства , задают цилиндрические поверхности, а - плоскость. Область интегрирования V получается в результате пересечения параболы с линией пересечения цилиндра и плоскости , т.е. с прямой . Сверху тело ограничено цилиндрической поверхностью .

Ввиду симметрии тела относительно плоскости вычисляем половину искомого объема: