Прогнозирование на основе зависимости между двумя переменными (корреляция и регрессия)

В регрессионном анализе изучается односторонняя зависимость переменной Y от одной или нескольких переменных Х₁ …., Х_k. Основная задача регрессионного анализа – установление формы зависимости между зависимой (Y) и независимыми (Х₁ …., Х_k) переменными и анализ достоверности параметров этой зависимости. Такие переменные, как расходы на рекламу, транспорт, численность населения и т.п. являются независимыми переменными, а те переменные, которые мы пытаемся оценить (например, объем продаж), являются зависимыми переменными.

Схема составления прогноза заключается в сборе данных о значениях зависимых и независимых переменных, их анализе на предмет наличия связи (корреляция) и выведении математического уравнения, описывающего эту связь (регрессия).

Первая стадия корреляционного анализа – сбор данных о значениях переменных и составления точечных диаграмм (ХY-диаграммы). Точечные диаграммы имеют различный вид:

Так, на рис. а пример абсолютной отрицательной корреляции, на рис. б – сильной положительной корреляции. На рис. в – взаимосвязь между значениями не усматривается, на рис. г взаимосвязь наличествует, но это не линейная зависимость, а параболическая.

Предположение наличия линейной зависимости между двумя переменными основывается на значении коэффициента корреляции r, который рассчитывается по формуле:

, (1.1)

 

где n – число пар значений переменных, а Σ символ суммирования.

 

Значение коэффициента корреляции колеблется от -1 (в случае абсолютной отрицательной корреляции) до +1 (в случае абсолютной положительной корреляции). Такие диаграммы как показаны на рис. в, г, дадут коэффициенты корреляции почти равные нулю. Хотя на рис. г точки взаимосвязаны между собой, но там зависимость параболическая, а коэффициент корреляции измеряет тесноту линейной связи. Это свидетельствует о важности не только расчетов, но и рассмотрения точечной диаграммы, поскольку даже при r близким к нулю возможно тесная взаимосвязь, но не линейная, а, например, параболическая как показано на рис. г.

Если установлена тесная линейная корреляция между переменными, то можно вывести уравнение прямой и использовать её для прогнозирования поведения зависимой переменной в будущем. Этот процесс носит название ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ.

Уравнение прямой (линейной) регрессии имеет общий вид:

Y = a + b*x,

где y – результативный показатель; х – независимая переменная (фактор); a и b представляют собой константы, их значения определяют положение и направленность прямой в осях координат.

Константа а называется точкой пересечения прямой с осью ординат и её значениепредставляет собой значение у, когда х =0. Константу b называют коэффициентом при х.

Задача регрессионного анализа заключается в экспериментальном определении коэффициентов регрессии, путем наблюдения за характером изменения входных параметров (факторов) и выходной величины (результативного показателя). Линейная модель уравнения регрессии строится по методу наименьших квадратов. Этот критерий минимизирует сумму квадратов вертикальных отклонений точек от прямой регрессии.

В реальных процессах зависимость результативного показателя у зависит от целого ряда переменных (факторов) х₁, х₂, …,х_k. – и это будет множественная регрессия. Модель множественной регрессии имеет следующий вид:

(1.2)

j ≠ i,

где b_i – линейные коэффициенты_, b_ii – нелинейные коэффициенты, b_ij- коэффициенты, учитывающие взаимное влияние факторов.

 

Для анализа общего качества регрессии используют коэффициент детерминации (определенности) R². Он характеризует долю вариации (разброса) зависимой переменной, объясненной с помощью данного уравнения. Т.е. с увеличением объясняемой доли разброса R² à 1.

Значимость уравнения регрессии определяют, используя критерий Фишера (F-критерий). Расчетное значение F_в сравнивается с критическим значением (F_кр), определяемого по таблице критических точек распределения Фишера: F_кр = k/n–k – 1; где k - число факторов, (n-k-1) – число степеней свободы знаменателя и n – это число параллельных опытов. Если F_в > F_кр - то полученное уравнение регрессии значимо, т.е. хотя бы один из коэффициентов уравнения не равен нулю.

Значимость коэффициентов регрессии проверяется с помощью t-критерия, основанного на распределении Стьюдента. Если вычисленный t-критерий коэффициента b_i (çt_bi ê) больше t_кр., то коэффициент значимый и влияние соответствующего фактора значимо. t_кр определяют по уровню значимости и числу степеней свободы f = n-k-1.

33. Решение проблемы спецификации через подбор формы модели.

Проблема спецификации модели
Эта проблема по существу решается на первых трех этапах моделирования (1-й этап (постановочный) — определение конечных целей моделирования, набора участвующих в модели факторов и показателей, их роли;
2-й этап (априорный) — предмодельный анализ экономической сущности изучаемого явления, формирование и формализация априорной информации, в частности, относящейся к природе и генезису исходных статистических данных и случайных остаточных составляющих;
3-й этап (параметризация) — собственно моделирование, т.е. выбор общего вида модели, в том числе состава и формы, входящих в нее связей;)

и включает в себя:

1. определение конечных целей моделирования (прогноз, имитация различных сценариев социально-экономического развития анализируемой системы, управление);

2. определение списка экзогенных и эндогенных переменных;

3. определение состава анализируемой системы уравнений и тождеств, их структуры и соответственно списка предопределенных переменных;

4. формулировку исходных предпосылок и априорных ограничений относительно:

o стохастической природы остатков (в классических вариантах моделей п ос тулируются их взаимная статистическая независимость или некоррелированность, нулевые значения их средних величин и, иногда, сохранение постоянными в процессе наблюдения значений их дисперсий — гомоскедастичностъ);

o числовых значений отдельных элементов матриц коэффициентов в модели;

o поведение некоторых эндогенных переменных.

Итак, спецификация модели — это первый и, быть может, важнейший шаг эконометрического исследования. От того, насколько удачно решена проблема спецификации и, в частности, насколько реалистичны наши решения и предположения относительно состава эндогенных, экзогенных и предопределенных переменных, структуры самой системы уравнений и тождеств, стохастической природы случайных остатков и конкретных числовых значений части элементов матриц коэффициентов, решающим образом зависит успех всего эконометрического моделирования

Спецификацией переменных называется процесс отбора наиболее важных факторных переменных при построении модели регрессии.

Если в процессе эконометрического моделирования была осуществлена неправильная спецификация переменных, то это может привести к негативным последствиям, среди которых особо можно выделить два пункта:

1) из модели регрессии могут быть исключены факторные переменные, оказывающие наибольшее влияние на результативную переменную;

2) в модель регрессии могут быть включены факторные переменные, практические не связанные с результативной переменной или оказывающие на неё незначительное воздействие.

Предположим, что на основе собранных данных была построена нормальная модель множественной регрессии вида:

Y=Xβ+ε(1)

Данную модель можно рассматривать как базисную или ограниченную модель регрессии между исследуемыми переменными.

Тогда неограниченная модель данной регрессионной зависимости будет иметь вид:

Y=Xβ+Zλ+ε(2)

где Y – вектор результативных переменных;

X – вектор количественных факторных переменных;

Z – некоторая фиктивная переменная;

Β, λ – вектор неизвестных коэффициентов модели регрессии без ограничений, подлежащих оцениванию.

Рассмотрим случай исключения факторных переменных, оказывающих наибольшее влияние на результативную переменную, из модели регрессии.

Предположим, что модель регрессии с ограничениями является значимой. Исходя из этого условия, рассчитаем оценку коэффициента β, полученную методом наименьших квадратов, в оцениваемой модели регрессии с ограничениями (1):

Подставим в данную формулу вместо Y выражение Xβ+Zλ+ε:

Охарактеризуем полученную оценку коэффициента β модели регрессии с ограничениями с точки зрения свойства несмещённости. Для этого рассчитаем математическое ожидание оценки

где BIAS – это смещение оценки коэффициента β.

Таким образом, оценка является смещённой, и устранить эту смещённость невозможно, даже при условии увеличения объёма выборочной совокупности.

Оценка коэффициента β модели регрессии с ограничениями (1) будет обладать свойством несмещённости в двух случаях:

1) если коэффициент при фиктивной переменной Z будет равен нулю:

2) при условии, что пропущенные переменные будут ортогонально включены в модель:

XTZ = 0.

Рассчитаем ковариацию оценки коэффициента β модели регрессии с ограничениями (1):

Матрица ковариаций МНК-оценок принимает такой вид только в том случае, если модель (1) является значимой.

Рассмотрим случай, когда в модель регрессии могут быть включены факторные переменные, практические не связанные с результативной переменной или оказывающие на неё незначительное воздействие.

Предположим, что модель регрессии без ограничений (2) является значимой. Исходя из этого условия, оценим коэффициенты модели регрессии с ограничениями (1).

Представим регрессионную модель с ограничениями (1) в следующем виде:

Пусть W – это переменные (X,Z) модели регрессии. Тогда оценка коэффициента β модели регрессии без ограничений может быть записана следующим образом:

Охарактеризуем полученную оценку коэффициента β модели регрессии без ограничений с точки зрения свойства несмещённости. Для этого рассчитаем математическое ожидание оценки

 

Следовательно, оценка является несмещённой оценкой коэффициента регрессии β модели (2). Если в данную модель включить один дополнительный фактор, то оценки уже включённых факторных переменных свойства несмещённости не утратят. Но если в модель регрессии будут включены много лишних параметров, то точность оценок будет падать.

Матрица ковариаций МНК-оценок модели регрессии без ограничений будет иметь вид:

Матрица ковариаций будет иметь такой вид только в случае значимости модели регрессии без ограничений.