Тест ранговой корреляции Спирмена

При использовании данного теста предполагается, что дисперсия отклонения будет либо увеличиваться, либо уменьшаться с увеличением значений X. Поэтому для регрессии, построенной по МНК, абсолютные величины отклоненийε_iи значения х_iбудут коррелированны.

Значения х_iиε_iранжируются (упорядочиваются по величинам). Затем определяется коэффициент ранговой корреляции:

где d_i— разность между рангами х_iиε_i,i= 1, 2,..., п;

п — число наблюдений.

Например, если х₂₀является 15 по величине среди всех наблюдений, аε₂₀ – 21, то d₂₀ = 15-21= - 6.

Если коэффициент корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то статистика

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы v=n-2. Следовательно, если наблюдаемое значениеt-статистики превышает табличное, то необходимо отклонить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции , а, следовательно, и об отсутствии гетероскедастичности.

Если в модели регрессии больше чем одна объясняющая переменная, то проверка гипотезы может осуществляться с помощью t-статистики для каждой из них отдельно.

Тест Голдфелда-Квандта

Самым популярным тестом обнаружения гетероскедастичности является тест, предложенный С. Голдфелдом и Р. Квандтом.

В данном случае также предполагается, что стандартное отклонение пропорционально значению x_i переменнойXв этом наблюдении, т, е.

Предполагается, что имеет нормальное распределение и отсутствует автокорреляция остатков.

Тест Голдфелда-Квандта состоит в следующем:

1. Все п наблюдений упорядочиваются по величинеX.

2. Вся упорядоченная выборка после этого разбивается на три подвыборки размерностей k, (п -2k),kсоответственно.

3. Оцениваются отдельные регрессии для первой подвыборки (k первых наблюдений) и для третьей подвыборки (k последних наблюдений). Если предположение о пропорциональности дисперсий отклонений значениям X верно, то дисперсия регрессии по первой подвыборке (сумма квадратов отклонений ) будет существенно меньше дисперсии регрессии по третьей подвыборке(суммы квадратов отклонений ).

4 Для сравнения соответствующих дисперсий строится следующая F-статистика:

При сделанных предположениях относительно случайных отклонений, построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободыv₁=v₂=k-m-l.

Если

то гипотеза об отсутствии гетероскедастичности отклоняется ( - выбранный уровень значимости).

Тест Уайта (White test, 1980).

Если в модели присутствует гетероскедастичность, то очень часто это связано с тем, что дисперсии ошибок некоторым образом зависят от регрессоров, а гетероскедастичность отражается в остатках обычной регрессии исходной модели.

Проводится этот тест следующим образом:

1) допустим, исходная модель имеет вид:

МНК оцениваются ее параметры и получают регрессионные остатки ;

2) оценивается вспомогательная регрессия квадратов остатков на все регрессоры, их квадраты, попарные произведения и константу:

где - нормально распределенная ошибка, независимая от ε_i.

Напомним, что . Однако поскольку предполагается, что M(ε) = 0, то D(ε_i) = M(). Так как нам неизвестна истинная величина квадратов остатков , то вопрос о наличии гетероскедастичности решается на основе их выборочных аналогов, .

Вспомогательная регрессия имеет именно такую форму, потому что необходимо исследовать, существует ли систематическая зависимость между изменениями и какой-либо релевантной переменной модели (чтобы увидеть, что релевантными являются именно переменные, включенные во вспомогательную регрессию, следует представить ошибку в виде и возвести данное выражение в квадрат).

3) Проверяется нулевая гипотеза:

Н₀: и и и и .

с помощью F– критерия Фишера.

Если фактические значения статистики превышают критические величины распределения F_расч >F_кр(α,v₁=p,v₂=n-p-1) то нулевая гипотеза о гомоскедастичности остатков отвергается, то есть делается вывод о присутствии гетероскедастичности.