Перевірка моделі на адекватність

Уже було сказано, що з допомогою коефіцієнта детермінації перевіряється адекватність (відповідність) побудованої економетричної моделі реальній дійсності. Іншими словами, дається відповідь на запитання, чи справді зміна значення y лінійно залежить саме від зміни значення x, а не відбувається під впливом випадкових факторів. Якщо значення коефіцієнта детермінації близьке до 1, то можна вважати, що побудована модель є адекватна. У випадку якщо значення коефіцієнта детермінації близьке до 0, то можна вважати, що побудована модель є неадекватна. В такому випадку відсутній лінійний зв’язок між змінними. Для визначення адекватності прийнятої економетричної моделі реальній дійсності у випадку, коли значення d має нечітко виражене граничне значення, наприклад, 0.6, 0.55, 0.46 і т.д., користуються найчастіше критерієм Фішера (F- критерій). Він дозволяє оцінити, чи значно нахил ˆ відрізняється від нуля, тобто перевірити гіпотезу H ₀:0.

Тому що, якщо ˆ незначно відрізняється від нуля, тоді з (1.6¢):

Тобто перевірка H ₀ дасть можливість визначити як краще апроксимувати дані: середнім значенням y ˆ i  y ^-- чи моделлю y ˆ i ˆ ˆ xi.

Альтернативна гіпотеза полягає в тому, що 0 і позначається: H₁: .

Перевірка моделі на адекватність за F -критерієм Фішера проходить наступним чином:

1) На першому кроці розраховуємо величину F -відношення:

2) На другому - задаємо рівень значущості (або 100%). Якщо, наприклад, ми задаємо рівень значущості 0,05 (або 5%), то це означає, що ми можемо помилитися в 5% випадків, а в 95% - наші висновки будуть правильними.

3) Третій крок передбачає знаходження критичного значення Fкр за статистичними таблицями F -розподілу Фішера з (1, n - 2) ступенями вільності і вибраному рівні значущості .

4) На четвертому кроці порівнюємо величину розрахованого F з Fкр. Якщо F > Fкр, то ми відкидаємо H ₀ з ризиком помилитися не більше ніж в  % випадків, і приймаємо, що побудоване рівняння економетричної моделі адекватне реальній дійсності. В протилежному випадку F  Fкр - H ₀ приймаємо і вважаємо, що побудована модель неадекватна. Тоді необхідно, можливо, будувати нелінійну модель або ввести додаткові фактори.

Зауваження. Для лінійної економетричної моделі нульова гіпотеза

H 0: = 0 аналогічна перевірці адекватності моделі за F- критерієм Фішера.

Якщо рівняння економетричної моделі адекватне реальній дійсності, то по ньому можна здійснювати прогноз. Прогнозування - це наукове передбачення імовірнісних шляхів розвитку явищ і процесів для більш-менш віддаленого майбутнього. Прогноз буває точковий та інтервальний. Точковий прогноз в n +1 періоді одержуємо безпосередньою підстановкою значення незалежної змінної x_{n +1} в рівняння економетричної моделі:

(Нижню межу інтервалу довіри часто називають песимістичним прогнозом, верхню - оптимістичним).

На практиці більше застосовується побудова інтервалів довіри для математичного сподівання y_{n +1} , тобто для

 

Криві зростання.

Криві зростання описують різні тенденції економічних процесів, наприклад, життєвий цикл товару, процес нагромадження капіталу, маркетингові зусилля фірми тощо. Економічна практика вже накопичила певний досвід і певні типи кривих, які найчастіше використовуються в макро- та мікроекономічних дослідженнях. До таких кривих відносяться:

 

Експоненційна функція
Степенева(мультиплікативна)
Зворотна
Квадратична
Модифікована експонента
Крива Гомперця
Логістична крива

 

У загальному випадку однофакторну економетричну модель можна подати у вигляді y = f (x) + u, де f (x) - одна з функцій зростання, а u - випадкова величина.

Як і у випадку з простою лінійною регресією, основне завдання полягає у розрахунку невідомих параметрів кривих зростання і подальшому аналізі обраної моделі. Оцінку невідомих параметрів проводять по-різному: експоненційні функції шляхом логарифмічних перетворень зводять до лінійної регресії, квадратичні функції зводять до багатофакторної регресії, для інших використовують ітеративні методи, метод трьох точок, метод Тейла тощо. Для тих функцій, які зводять до лінійної регресії, збігається вся методологія дослідження як і у випадку простої лінійної регресії.

 

17. Зведення деяких нелінійних моделей до лінійних. (Приклади використання нелінійних моделей на практиці)

Найбільш популярною моделлю в економіці є лінійна регресія. Проте не всі економічні процеси можна нею моделювати. Тому на практиці використовуються складніші моделі з нелінійною залежністю між показником у та фактором х. За методикою оцінок параметрів парні нелінійні регресії розглядаються двох видів: 1) нелінійні за факторами, але лінійні за невідомими параметрами, які підлягають оцінці; 2) нелінійні за факторами і параметрами. Регресії, нелінійні за факторами, але лінійні за оцінюваними параметрами, називаються квазілінійними.

Парну квазілінійну регресію можна записати в загальному вигляді: Заміною величин нелінійна парна регресія приводиться до лінійної парної регресії. Таким методом зводяться функції: логарифмічна, гіперболічна.

В регресіях нелінійних за факторами та параметрами логарифмують праву та ліву частину рівняння і проводять заміну змінних. Таким чином нелінійна регресія зводиться до лінійного виду. Параметри лінійної моделі оцінюють за відомими формулами використовуючи в якості вихідних даних значення нових змінних. Для оцінки адекватності нелінійної парної регресії спостережуваним даним можна використовувати критерій Фішера. Перевірка виконується за таким же алгоритмом, що й для лінійної парної регресії.

У тих випадках, коли нелінійна регресія перетворюється в лінійну шляхом логарифмування і заміни змінних, довірча інтервальний прогноз знаходять для відповідної лінійної регресії, а потім, використовуючи зворотні перетворення для меж інтервалів довіри прогнозу лінійної регресії, знаходять межі інтервалів довіри прогнозу нелінійної регресії.

В практиці використовуються:

Крива джонса – залежність попиту на нові товари:

Y= a0+e^a1-(a2/x)

Крива Лаффера – залежність податкових надходжень від податкової ставки:

Y=a₀*e^{a1(x-a2)^2}

Крива Голберца – залежність процесів демографії, маркетингу

Y=e^a0+a1x