Обчислення внутрішніх зусиль у плоских рамах

Внаслідок дії зовнішніх навантажень в перерізах плоских рам вини­кають згинаючі і поздовжні деформації, а також деформації зсу­ву. Цим деформаціям відповідають внутрішні зусилля: згинаючі мо­­мен­­ти, поздовжні і поперечні сили. Розрахунок рам полягає в обчис­ленні зусиль і в побудові графіків їх розподілу в стержнях. Означені графіки називають епюрами внутрішніх зусиль.

Згинаючий момент у перерізі стержня рами обчислюється як су­ма моментів усіх сил, що прикладені до рами по один бік від пере­різу, відносно цент­ра ваги перерізу.

У рамах знаки згинаючих моментів не визначені. При побудові епюри на стержнях рам ординати прийнято відкладати від розтягнених волокон.

Поперечна сила в перерізі стержня рами обчислюється як сума проек­цій усіх сил, роз­ташованих по один бік від перерізу, на нор­маль n до осі стержня в цьому перерізі. За цією форму­лою підсумовуються всі сили, що прикладені до однієї з частин рами. Поперечна сила вважається додатною, якщо вона намагається повер­нути відповідну частину стержня за годин­никовою стрілкою.

Поздовжня сила в перерізі стержня рами обчислюється як сума про­ек­­цій всіх сил, роз­ташованих по один бік від перерізу, на напрям осі стержня в цьому перерізі. Тут також бе­руть до уваги всі сили, які діють на одну з частин рами. По­здовжня сила вважається додатною, якщо вона розтягує стержень.

Приклад: Побудуємо епюри внутрішніх зусиль в рамі зображеній на рис.36.

Рис.36

Визначення опорних реакцій:

:

Перевірка:

Позначення характерних точок рами (рис.37):

Рис.37

Для визначення зусиль в характерній точці розглядаємо рівновагу однієї із двох частин рами розташованих по обидві сторони від точки. Раціональніше обирати ту частину в якій діє менше сил. В точці перерізу прикладаємо 3 внутрішніх зусилля: поперечну силу, поздовжню силу та момент. Поперечну та повздовжню сили спрямовуємо в додатному напрямку. Напрямком момента задаємось довільним чином. Складаємо 3 рівняння рівноваги для розглядуваної частини, з яких визначаємо невідомі внутрішні зусилля.

1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)

На основі отриманих в характерних точках значень внутрішніх зусиль, будуємо епюри. Значення внутрішнього зусилля в характерній точці відкладається перпендикулярно до стержня. На епюрах поперечних та повздовжніх сил напрямок відкладання значень зусиль вздовж перпендикуляру приймають довільним. Знак значення показується на самій епюрі. При обчисленні момента, знак отриманого значення дозволяє встановити дійсний його напрямок. Якщо момент вийшов від’ємним, то його напрямок є протилежним від прийнятого на початку. Після визначення дійсного напрямку момента встановлюють які волокна стержня він розтягує (для горизонтального стержня – нижні або верхні; для вертикального стержня – ліві або праві). На епюрі моментів значення відкладаються в бік розтягнутих волокон стержня.

Згідно з означенням епюра поперечних сил є похідною від епюри моментів. На ділянці дії рівномірно-розподіленого навантаження епюра моментів змінюється за законом параболи, а епюра поперечних сил за лінійним законом. Як відомо з математики функція має екстремум в точках де похідна від цієї функції дорівнює нулю. Таким чином в точках стержня, на ділянці дії рівномірно-розподіленого навантаження, в яких поперечна сила дорівнює нулю епюра моментів має екстремум. В таких точках необхідно додатково обчислювати значення моментів. Як видно з епюри Q, на ділянці дії рівномірно розподіленого навантаження поперечна сила набуває нульового значення між характерними точками 5 і 6 (рис.38). Розташування нульової точки визначаємо використовуючи властивості подібних трикутників, що утворені на даній ділянці епюри:

, звідки визначаємо що . Визначаємо момент в цій додатковій характерній точці (т.15)

Рис. 38

15)