Расчет переходных процессов с помощью интегралла Дюамеля

ЗАДАНИЯ

 

3.1. Найти переходную и импульсную характеристики цепи, схема которой представлена на (рис. 9)

Рис.9

3.2. Определить реакцию цепи на воздействие прямоугольного импульса (рис. 10) по переходной характеристике цепи.

Рис.10

3.3. Определить реакцию цепи для заданного воздействия (задание 3.2.) по ее импульсной характеристике.

 

3.1. Временные (переходная и импульсная ) характеристики линейной цепи находят используя соотношения связывающие частотные и временные характеристики. Для этого составляют операторную схему замещения электрической цепи при нулевых начальных условиях. Используя полученную схему, определяют операторную характеристику , соответствующую заданному внешнему воздействию на цепь и полученной реакции цепи . По операторной характеристике находят временные характеристики:

(15)

(16)

Рассмотрим методику определения временных характеристик цепи (рис. 9) в режиме холостого хода на режимах 2-2^/. Внешнее воздействие на цепь источник напряжения, подключенный в момент времени =0, реакция цепи – напряжение на зажимах 2-2^/ .

Составим операторную схему замещения цепи (рис. 11) при нулевых начальных условиях.

Рис. 11

 

Определим операторный коэффициент передачи цепи по напряжению в режиме холостого хода ()

Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характеристики цепи имеют вид

 

 

 

Используя таблицы обратного преобразования Лапласа, переходим от изображений искомых временных характеристик к оригиналам:

 

(17)

 

 

а) б)

Рис. 12

 

Временные характеристики цепи имеют вид, представленный на (рис. 12): а) переходная; б) импульсная характеристика цепи.

3.2. Определим реакцию цепи (рис.9) на воздействие прямоугольного импульса по ее переходной характеристике с помощью интеграла Дюамеля (интеграл наложения)

(19)

С помощью интеграла Дюамеля можно определить реакцию цепи на заданное воздействие, когда оно описывается кусочно-непрерывной функцией, т.е. функцией, которая имеет конечное число разрывов. В этом случае интервал интегрирования необходимо разбить на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции в точках разрыва.

Внешнее воздействие можно записать:

Разбиваем ось времени на три промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции .

При реакция цепи тождественно равна нулю.

На участке , функция непрерывна, поэтому реакция цепи определяется с помощью интеграла Дюамеля при =0.

.

Выражение переходной характеристики цепи получим при , заменив на в выражении

.

Тогда реакция цепи на рассмотренном участке принимает вид:

.

Поскольку , то реакция цепи .

При интервал интегрирования содержит точку разрыва функции . Для определения реакции цепи интервал интегрирования разобьем на два промежутка и и учтем реакцию цепи на скачки функции в точке . Принимаем во внимание, что при , находим

Графики реакции цепи на воздействие прямоугольного импульса в зависимости то его длительности имеют вид представленный на (рис. 13)

 

Рис. 13

 

3.3. Определим реакцию цепи (рис. 10) на воздействие прямоугольного импульса напряжения по ее импульсной характеристике. Как и в предыдущем случае разобьем интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции и на этих интервалах вычислим интеграл Дюамеля

(20)

При напряжение на зажимах 2-2^/ цепи тождественно равно нулю (нет воздействия, нет реакции).

На участке функция не имеет разрывов, поэтому напряжение находится непосредственно с помощью выражения (20)

,

где - импульсная характеристика при замене на

.

Реакция цепи на данном участке запишется

При интервал интегрирования содержит точку разрыва функции , разобьем его на два промежутка и и найдем выражение для напряжения на зажимах 2-2^/

 

Как и следовало ожидать, выражения для реакции цепи на воздействие прямоугольного импульса напряжения, найденные с помощью импульсной характеристики цепи совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи.

Заключение

 

В результате проделанной курсовой работы был проведен анализ переходных процессов в линейных электрических цепях, расчет электрических цепей с одним и двумя энергоемкими элементами классическим и операторным методами, определены переходные и импульсные характеристики линейных цепей, найдены реакции цепи на произвольное внешнее воздействие по ее переходной и импульсной характеристикам. Значения токов, рассчитанные с помощью классического и операторного методов, полностью совпадают, что говорит о правильности произведенных вычислений. При расчете переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля выражения для реакции цепи на воздействие прямоугольного импульса напряжения, найденные с помощью импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи, что также подтверждает правильность расчетов.

Графики в заданиях были построены с использованием программыMathcad 15 Portable.

Список литературы

1. Переходные процессы в линейных цепях: Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Основы теории цепей» для студентов направлений 210300 «Радиотехника» и 210400 «Телекоммуникации» / Сост. Е.Н. Калачев. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2006.

2. Попов В.П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. - 3-е изд., испр. - М: Высш.шк., 2010. - 575 с.

3. Методы формирования уравнений электрического равновесия цепей: Методические указания к выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Основы теории цепей» / Сост. Е.Н. Калачев. – Йошкар-Ола: МарГТУ, 2006. – 32с.

4. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Круг Б.Е. Основы теории цепей: Учеб. для вузов / Под ред. В.П.Бакалов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М: Радио и связь, 2009 - 592 с.

5. Шебес М.Р., Каблукова М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учеб. пособие для электротехнич., радиотехнич. спец. вузов -4-е изд., перераб. и доп. -М: Высш.шк., 2011. - 544с.