Краткие теоретические сведения

Все процессы, протекающие в цепях синусоидального тока, значительно сложнее тех, которые наблюдаются в цепях постоянного тока. Во-первых, в таких цепях различают уже не один, а три основных элемента: активные сопротивления R, индуктивность L и емкость С; во-вторых, переменные синусоидальные токи и напряжения вызывают периодические изменения энергий, которые запасаются в электрическом поле емкостных элементов (конденсаторах) W_Э = и в магнитном поле индуктивных элементов (катушек) W_М = .

При этом емкостные (С) и индуктивные (L) элементы обмениваются энергиями друг с другом и с источником, а на активных сопротивлениях электрическая энергия преобразуется в другие виды энергии. Именно перераспределением энергии и определяются соотношения между током и напряжением на отдельных элементах:

 

на активном R: U_R = i·R; (6.1)

 

на индуктивном L: U_L = ; (6.2)

 

на емкостном С: U_C = . (6.3)

 

Из этих соотношений вытекает, что только на активном сопротивлении синусоиды тока и напряжения совпадают по фазе, на индуктивном – синусоида напряжения опережает синусоиду тока на 90⁰; на емкости, наоборот, синусоида напряжения отстает от синусоиды тока на 90⁰. В таблице 13 приведены основные характеристики элементов цепей синусоидального тока.

Таблица 13 – Характеристики основных элементов цепей

синусоидального тока

Характеристики	R	L	С
1. Напряжение на зажимах при синусоидальном токе i = Im·sinω·t	U = Umsinω·t	U=Umsin(ωt + )	U= Umsin(ωt - )
2. Закон Ома для участка цепи для действующих значений тока и напряжения	I =	I = ; ХL= ω·L	I = ; ХC =
3. Угол сдвига фаз между синусоидами напряжения и тока φ = φu – φi	φ = 0	φ =	φ =
4. Активная мощность, выделяемая в элементе Р = U· I cos φ	P = I2·R= U·I = =

Продолжение таблицы 13

 

Характеристики	R	L	С
5. Реактивная мощность элемента Q = U· I sin φ	0	QL= I2·XL= = UL·I=	QC= -I2·XC = =-UC·I =
6. Векторная диаграмма напряжения и тока
7.Сопротивления в символической форме	R	XL= jωL	XC = = - j

 

При последовательном соединении трех названных идеальных элемен­тов (рис.24) уравнение для мгновенных значений напряжений в соответствии со 2-м законом Кирхгофа U = U_R+U_С+U_L.

В комплексной форме для действующих значений

 

Ú = Ú_R + Ú_L + Ú_C = IR + I j ωL + I(– j ) = I Z, (6.4)

 

где Z – комплекс полного сопротивления цепи (Ом):

 

Z = Zej^φ, (6.5)

 

где Z = – модуль полного сопротивления,

φ – угол сдвига фаз между синусоидами тока и напряжения (аргумент комплексного сопротивления):

 

. (6.6)

 

Рисунок 24 – Схема электрической цепи с последовательным включением R, L, C элементов

 

В приведенных соотношениях X_L-X_С – результирующее реактивное сопротивление цепи, обозначающее характер нагрузки цепи: если X_L > Х_С, нагрузка имеет индуктивный характер, при этом угол сдвига фаз φ считают условно положительным (φ>0); если X_L<Х_Сφ<0, нагрузка носит емкостной характер, и угол φ считают условно отрицательным (φ < 0).

На рис. 25, а, б приведены векторные диаграммы напряжений и тока для, соответственно, индуктивного и емкостного характера нагрузки.

 

 

φ > 0

а б

а – при индуктивном характере нагрузки;

б – при емкостном характере нагрузки.

Рисунок 25 – Векторные диаграммы напряжений и тока для последовательной цепи с R,L,C – элементами.

Векторные прямоугольные треугольники оав называют треугольниками напряжений, в этих треугольниках активные составляющие полного напряжения V_а совпадают по направлению с вектором тока, реактивные – в зависимости от характера нагрузки, при индуктивном характере – опережают, при емкостном – отстают.

На рис. 26 показан треугольник напряжений при индуктивном характере нагрузки.

Разделив каждую сторону векторного треугольника напряжений на вектор тока, получим скалярный прямоугольный треугольник сопротивлений 0' а' в', гипотенуза представляет полное сопротивление цепи z, а два катета – активное R и реактивное X сопротивления цепи.

 

 

 

а б в

Рисунок 26 – Треугольники напряжений, сопротивлений, мощностей

 

Из треугольника напряжений (рис. 26а) активная и реактивная составляющие напряжений определяются по следующим формулам:

 

U_p = U_L – U_C; U_p = U·sinφ. (6.7)

 

U_a = U·cosφ (6.8)

 

Из треугольника сопротивлений (рис. 26б) активная и реактивная составляющие сопротивлений определяются по следующим формулам:

 

X= X_L – X_C; X = z·sinφ. (6.9)

 

R = z·cosφ (6.10)

 

Из треугольника мощностей (рис. 26в) активная, реактивная и полная мощность определяются по следующим формулам:

 

P = U·I·cosφ = I² ·R = U_a ·I (6.11)

 

Q = Q_L – Q_C; Q = I² ·X = U·I·sinφ = U_p·I (6.12)

 

S = U·I = I² ·z = (6.13)

 

Если каждую сторону векторного треугольника напряжений 0''а''в'' умножить на вектор тока, получим прямоугольный скалярный треугольник мощностей, где в масштабе мощностей гипотенуза представляет полную мощность цепи S, а два катета – активную Р и реактивную Q мощности цепи.

Анализ электрических цепей синусоидального тока, как правило, сопровождается построением векторных диаграмм с активными и реактивными составляющими напряжения, что повышает наглядность результата расчета. Для расчета цепей и построения векторных диаграмм необходимо уметь определить параметры приемников.