Примеры множеств, являющихся полями

§ — рациональные числа,

§ — вещественные числа,

§ — комплексные числа,

§ — поле вычетов по модулю p, где p — простое число.

§ — конечное поле из q = p^k элементов, где p — простое число, k — натуральное.

§ — поле рациональных функций вида f / g, где f и g — многочлены над некоторым полем (при этом , а f и g не имеют общих делителей, кроме констант).

§ Числа вида , , относительно обычных операций сложения и умножения.

Кольцо — это множество R, на котором заданы две бинарные операции: + и × (называемые сложение и умножение), со следующими свойствами:

1. — коммутативность сложения;

2. — ассоциативность сложения;

3. — существование нейтрального элемента относительно сложения;

4. — существование обратного элемента относительно сложения;

5. — ассоциативность умножения (некоторые авторы не требуют выполнения этой аксиомы^[1])

6. — дистрибутивность.

Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра , такая что алгебра — абелева группа, и операция + дистрибутивна слева и справа относительно . Кольцо ассоциативно, если мультипликативный группоид является полугруппой.

Ассоциативные кольца могут обладать следующими дополнительными свойствами:

§ наличие единицы: (кольцо с единицей);

§ коммутативность умножения: (коммутативное кольцо);

§ отсутствие делителей нуля: .

Кольца, для которых выполнены два последние свойства, называются целостными (иногда также областями целостности или просто областями, хотя условие коммутативности не всегда считается обязательным).

Иногда под ассоциативным кольцом понимают ассоциативное кольцо с единицей. Но имеются примеры ассоциативных колец без единицы, например — нулевое кольцо, кольцо чётных чисел, или же любой несобственный идеал в кольце. Рассматриваются также неассоциативные кольца без единицы, например лиевские кольца и др.

Связанные определения

§ Подмножество называется подкольцом R, если A само является кольцом относительно операций, определенных в R. По определению, оно непусто, поскольку содержит нулевой элемент.

§ Ассоциативное кольцо с единицей , в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом.

§ Коммутативное тело называется полем. Иначе говоря, поле — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов.

§ Кольцо, элементами которого являются числа, а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом. Например, множество чётных чисел является числовым кольцом.

Простейшие свойства

Пусть R — кольцо, тогда выполнены следующие свойства:

§ , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению.

§ , где (− b) — элемент, обратный к b по сложению.

§

§

Примеры

§ {0} — тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Считать этот тривиальный пример кольцом важно с точки зрения теории категорий, так как при этом в категории колец возникает нулевой объект, через который пропускается любой нулевой гомоморфизм колец.

§ — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над .

§ — кольцо вычетов по модулю натурального числа n. Это классические примеры колец из теории чисел. Они являются полями тогда и только тогда, когда число n простое. Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей. Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, Их также можно использовать для построения p-адических чисел.

§ — кольцо рациональных чисел, являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по всем неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел и p-адических чисел , где p — произвольное простое число.

§ Для произвольного (коммутативного, ассоциативного) кольца R можно построить кольцо многочленов от n переменных с коэффициентами в R. В частности, R [ x ][ y ] = R [ x, y ]. Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение: .

§ Кольцо бесконечно гладких вещественнозначных функций на многообразии M — это коммутативное ассоциативное кольцо с единицей. Умножение и сложение в нём определяются поточечно:

Нулевой элемент — функция, тождественно равная 0, единичный — тождественно равная 1. Обратимыми элементами в нём являются нигде не равные 0 функции, делителями нуля — функции, равные 0 на некотором открытом множестве в M. Это кольцо не имеет нильпотентов, так как их нет в , а умножение поточечно. Если M компактно, то максимальными идеалами в нём являются множества функций, зануляющихся в данной точке:

причём максимальные идеалы совпадают с простыми.

§ Кольцо подмножеств множества X — это кольцо, элементами которого являются подмножества в X. Операция сложения есть симметрическая разность, а умножение — пересечение множеств:

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пусто множество, единичным — всё X. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть . Любой элемент является своим обратным по сложению: A + A = 0. Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности в построении теории вероятностей.

§ Кольцо когомологий — это важный топологический инвариант, связанный с любым топологическим пространством.

§ Если R — кольцо в категории , то множество является кольцом (в обычном смысле) для любого объекта .

§ Кольцо периодов — множество чисел, которые могут быть выражены как объём области в заданной системой полиномиальных неравенств с рациональными коэффициентами.

 

Билет 7 вопрос 1