Додатні ряди. Достатні ознаки збіжності додатних рядів

Перейдемо до розгляду достатніх ознак збіжності, що стосується додатних рядів, тобто, в яких .

Серед достатніх ознак зупинимось на таких:

1) ознака порівняння рядів;

2) ознака Даламбера;

3) ознака Коші (радикальна);

4) інтегральна ознака Коші.

Подаємо кожну з наведених ознак у вигляді теорем.

Ознака порівняння.

Теорема. Нехай задано два ряди. (1) і (2), причому члени першого ряду не перевищують відповідних членів другого ряду, тобто для довільних n

. (3)

Тоді:

1) із збіжності ряду (2) випливає збіжність ряду (1);

2) із розбіжності ряду (1) випливає розбіжність ряду (2).

Доведення. 1) Нехай ряд (2) збіжний, тобто існує границя

.

Згідно з нерівністю (3) для часткових сум ряду (1) маємо нерівність

.

Із додатності рядів очевидно, що часткові суми монотонно зростають. Скористаємось ознакою існування границь: якщо послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, то вона має границю.

Поскільки і , то існує . Отже, ряд (1) збіжний.

2) Якщо ж додатний ряд (1) розбіжний, то при , а, значить, із нерівності , тобто ряд (2) теж розбіжний.

Приклади. Дослідити збіжність рядів.

1. .

2. .

3. .

4. .

Розв’язання. 1. Поскільки , , …, , , … то із збіжності ряду (див. ряд (5) в 1.) за ознакою порівняння випливає збіжність ряду

,

приписавши в останньому ряді спереду доданок 1, отримаємо початковий ряд , який збігається.

2. Поскільки а праві частини цих нерівностей є членами гармонічного ряду , який розбігається, то за ознакою порівняння ряд теж розбігається.

3. Із нерівності і збіжності отримуємо збіжність ряду .

4. Аналогічно попередньому маємо , якщо . Отже, ряд теж збіжний при .

В більшості випадків зручнішою може бути гранична ознака порівняння, яку подаємо без доведення.

Теорема (гранична ознака порівняння). Нехай задані ряди (1) і (2).

Якщо існує скінчена границя відношення загальних членів, відмінна від 0, тобто

,

то обидва ряди ведуть себе однаково, тобто або одночасно збігаються або одночасно розбігаються.

Приклади. Дослідити збіжність ряду.

1. . 2. .

Розв’язання. 1. З теорії границь відомо, що при многочлен веде себе так, як його найстарший доданок, тобто при . Тому , а . Візьмемо , а .

Розглянемо

.

Відповідно теоремі обидва ряди і збіжні, бо збіжність другого ряду вже доведена.

2. Поскільки при , а , то .

Тому знаходимо границю

.

Ряд - є гармонічним, розбіжним, тому розбіжним є і даний ряд.

Ознака Даламбера

Теорема (Даламбера). Нехай для ряду існує границя відношення (n+1)–го члена до n-го члена, тобто

.

Тоді: 1) якщо , то ряд збігається;

2) якщо , то ряд розбігається;

3) якщо ж , то питання збіжності залишається не вирішеним.

Приклади. Дослідити на збіжність ряди.

1. .

 

1. .
2. .

Розв’язання. 1. Згідно з ознакою Даламбера знаходимо ; ,

.

Поскільки , то ряд збіжний. Нагадаємо, що цей ряд входив до розкладу числа е,

.

(див. ряд (8) в першому параграфі).

2. , тому

.

Ряд збіжний.

3. .

Тому

- ряд розбіжний.

3⁰. Ознака Коші (радикальна)

Теорема (Коші, радикальна). Нехай для ряду існує границя кореня n-го степеня із загального члена, тобто

.

Тоді: 1) якщо , то ряд збігається;

2) якщо , то ряд розбігається;

3) якщо ж , то питання збіжності залишається не вирішеним.

Приклади. Дослідити на збіжність ряди.

1. . 2. .

Розв’язання. 1.

 

, ряд збіжний.

2. , ряд збіжний.

Інтегральна ознака Коші

Теорема (Коші, інтегральна). Нехай дано ряд , члени якого не зростають, тобто

,

і існує незростаюча неперервна на функція така, що

,

то ряд і невласний інтеграл одночасно або збігаються або розбігаються.

Доведення теореми базується на порівнянні площі криволінійної трапеції

Рис.1 Рис.2

 

і ступінчатих фігур (див. рис.1 і рис.2)

Із рис.2 маємо нерівність

.

А із рис.1 нерівність протилежного характеру

,

звідки отримуємо

.

З лівої нерівності маємо, що із існування границі , тобто, із збіжності ряду випливає існування границі

-

- збіжність невласного інтеграла. Аналогічно права нерівність стверджує, що із збіжності невласного інтеграла випливає збіжність ряду.

Подібні міркування застосовуються на випадок розбіжності.

Приклад. Дослідити збіжність рядів.

1. - узагальнений гармонічний ряд.

2. .

 

Розв’язання. 1. Для знаходження функції замінимо у формулі загального члена дискретну змінну n неперервною змінною x, отримаємо

.

Нехай , отримаємо гармонічний ряд, , - інтеграл розбіжний, отже, і ряд - розбіжний.

Нехай . Тоді , - інтеграл збіжний, а отже, узагальнений гармонічний ряд - теж збіжний.

Нехай . Тоді - інтеграл розбіжний. Узагальнений ряд при - розбіжний.

 

5. Методичні поради при досліджені додатних рядів

При досліджені додатних рядів у деяких студентів виникають труднощі у виборі необхідної із викладених ознак. Так для застосування ознаки порівняння необхідно мати в розпорядженні певну множину уже досліджених рядів, щоб було з чим порівнювати. Таку множину можна утворити і поповнювати користуючись ознаками Даламбера, Коші (радикальною), інтегральною. При цьому рекомендується керуватись таким:

1. Якщо формула загального члена ряду містить факторіал або , то зручно застосувати ознаку Даламбера.
2. Якщо легко добувати корінь n-го степеня із ,то застосовується радикальна ознака Коші.
3. Якщо не дуже складно обчислюється невласний інтеграл від функції , яку отримуємо заміною дискретної змінної n у формулі для неперервною змінною x, то застосовується інтегральна ознака. Часто інтегральна ознака застосовується комбіновано з граничною ознакою порівняння.

Ці поради носять орієнтовний характер, тому що не всі ряди можна дослідити за допомогою вказаних ознак. Відомі більш витончені ознаки збіжності рядів.

 

Приклади для самостійного розв’язання

Дослідити на збіжність ряди

 

1. .	2. .
3. .	4. .
5. .	6. .
7. .	8. .
9. .	10. .
11. .	12. .
13. .	14. .
15. .	16. .
17. .	18. .
19. .	20. .
21. .	22. .
23. .	24. .
25. .	26. .