Функция как основная математическая характеристика процесса

В описании процесса, если это возможно, надо использовать математику. Это позволяет проще, быстрее, надежней исследовать ход процесса и удобным способом рассчитывать (предсказывать) его ход. Основным способом описания процесса является понятие функции.

Функция – это правило сопоставления одного числа другому.

Число, которому сопоставляют, называется аргументом; сопоставляемое число называется значением функции. В процессах это будут аргумент процесса и характеристика процесса.

Примеры функции. (полезно разобраться, что здесь аргумент, а что – значение функции) Момент времени определяет посылку сигнала. Глубина океана соответствует давлению воды. Объем текущих затрат соответствует зарплате. На примере прямоугольного треугольника определяются понятия sin и cos. Логарифм определяется через операцию, обратную возведению в степень.

Функция один из важнейших и самый распространенный способ описывать существующие во внешнем мире причинно-следственные связи. Суть понятия функции – соответствие. Правило сопоставления в определении функции – это соответствие.

При задании функции важными являются два вопроса:

1. Что представляет собой правило сопоставления? Это формула (самый удобный вид), цепочка формул, поэлементное указание соответствия (таблица), графическое соответствие (график), словесное описание и др.

2. Откуда, из какой совокупности можно брать аргументы для соответствия? Эта совокупность называется область задания функции. Самое распространённое описание области задания – неравенства (x ≥ 0; –2 ≤ x < a); другие способы: прямой перечень (таблица), словесное описание.

Для функции также могут быть заданы ограничения на её значения. Обычно эти ограничения означают в каком-то смысле «опасные» значения функции.

Примеры: Опасная скорость. Опасная доза. Ограничение на толчок, чтобы нога не поскользнулась. Ребенку ограничивают сумму денег, которую дают ему в школу (например, сумма денег – функция от дня недели, функция от класса).

При выходе аргумента или значения функции за фиксированные пределы функция не рассматривается.

Все возможные значения функции, определённые в области её задания, называются областью значений. Её часто нужно и полезно изучать.

Функцию принято обозначать

y = f (x) или просто f (x),

где f – функция (правило); x – аргумент, y – значение функции.

Если значение аргумента (т.е. x) отложить на горизонтальной оси, а соответствующую ей величину y на перпендикуляре к этой оси и сделать это для всех допустимых x, то получиться линия – графическое изображение функции, или просто график.

x   = =

x   = =

f(x) = =

y yy   = =

a   = =

b   = =

 

x ϵ X, X = [a, b]

 

 

Имеется три способа задания функции:

Аналитический (в виде формулы).

Графический (в виде графика).

Табличный (в виде таблицы).

Все способы имеют свои преимущества и недостатки.

Традиционно самым удобным способом считается формула. Формулы удобно подставлять друг в друга, преобразовывать. Они, обычно, компактны. Но формула не показывает наглядно поведение функции. Рост/убывание, корни, максимумы и минимумы, изломы, и многое другое показывает график. По таблицам хорошо видна абсолютная величина и разность значений.

Примеры формул: y = ax²+bx+c (квадратичная функция); y = e^{tg x}+2x; y = max(sin x, cos x), попробуйте её нарисовать на [0, 2π];

Примеры функции без формул: приходит информация с датчика и регистратор отмечает: а₁, а₂, …; количество знаков в строке в зависимости от строки; математическая запись – антье (целая часть); логическая запись функции (похоже на формулу) { x≤3 → y= 0; x >3 → y= π.

Если для данного аргумента x существует более одного значения функции, то говорят, что функция многозначна (имеет несколько значений, а на графике – ветвей).

Пример: y = x^1/2, здесь, например, при x = 4 имеем y = ± 2;

Сопоставлять новое число можно не одному числу, а сразу двум. Самый простой пример: z = x + y. Такая функция называется двумерной, ее общий вид z = f (x, y). Аргументом является пара x, y. График такой функции имеет вид поверхности

z(x0, y0)

y0

x0

x

z

y

x

 

Аналогично двумерной функции определяется функция трех и более аргументов (говорят также «переменных»).