Интегрального признака сравнения Коши

Пусть дан ряд , и каждый его член можно представить в виде значения какой-нибудь функции f от номера члена: .

Доопределив данную функцию для всех x на интервале [1;∞), можно говорить о непрерывной функции f(x) на интервале [1;∞), а также о существовании несобственного интеграла .

Итак, если дан ряд , члены которого положительны и не

возрастают, дана функция f(x), определённая на интервале [1;∞),

непрерывная и невозрастающая на нём и ,тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился интеграл .

 

Пример 8.

Рассмотрим поведение рядов Дирихле в зависимости от p.

Для них f(x)= . В этом случае

 

Для случая p=1 f(x)=1/x

- интеграл расходится, что ещё раз доказывает расходимость гармонического ряда.

 

Итак, ряды вида сходятся при p>1 и расходятся при p<1 и при p=1.

 

Пример 9.

В данном случае можно применить признак сравнения с рядом Дирихле после преобразования общего члена ряда с помощью формул Тейлора. Напомним их:

 

 

С помощью формулы (5) получим:

 

С помощью формулы (4) можем получить:

Тогда

Имеем ряд Дирихле , где p=1+ . Такой ряд сходится при p>1, то есть при >0, и расходится при p≤1, то есть при ≤0.

 

Пример 10. Ряд .

Применим интегральный признак: f(x)= , несобственный интеграл сходится. Следовательно, сходится и ряд .

Пример 11. Ряд .

Случай p=1. f(x)= . Применяем интегральный признак: - несобственный интеграл, а, вместе с ним и ряд расходятся.

Случай p≠1:

 

.

Вместе с соответствующим несобственным интегралом, в зависимости от p, ряд сходится при p>1 и расходится при p≤1.

 

Необходимо отметить ещё один момент: множество сходящихся рядов образуют линейное пространство. Этим тоже можно пользоваться для установления сходимости рядов. А именно: если исследуемый ряд может быть представлен в виде конечной линейной комбинации сходящихся рядов, то он сходится.

Пример 12. . Так как и каждый из рядов сходятся (см. пример 1), то и ряд сходится.

 

Если исходный ряд может быть представлен в виде линейной комбинации сходящегося и расходящегося рядов, то он расходится.

 

Пример 13.

Рассмотрим ряд . Так как , ряд сходится, а ряд расходится, то ряд расходится.

 

Множество всех расходящихся рядов не образуют линейное пространство! Поэтому их конечные линейные комбинации могут образовывать как сходящийся, так и расходящийся ряд.

 

Пример 14.

Рассмотрим ряд .

. Ряды и расходятся, однако исходный ряд сходится!

 

Докажем это двумя способами:

Во-первых (по признаку сравнения), , следовательно, наш ряд сходится вместе с рядом Дирихле , С=1, p=2.

Во-вторых, попробуем получить частичную сумму данного ряда, чтобы доказать сходимость по определению – через предел частичных сумм. Так как , то

. Предел частичной суммы существует, конечен, следовательно, ряд сходится по определению.

Признак Даламбера.

Пусть дан ряд с положительными членами , , тогда, если , то ряд сходится,

если и в частности, если , то ряд расходится.

Если q=1, необходимо применить другой признак, так как при q=1 признак Даламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

 

Признак Даламбера удобнее всех прочих применять в том случае, если в выражении члена ряда содержится знак факториала.

 

Пример 15. .

 

По признаку Даламбера:

Пример 16.

По признаку Даламбера:

 

- ряд сходится.

Отметим, что полученное соотношение указывает на невыполнение необходимого признака сходимости ряда

.