Примеры решения типовых задач

Числовые ряды

 

Знакоположительные ряды

 

Пусть имеется числовая последовательность . Составим выражение , которое называют числовым рядом, а числа – членами ряда; n -й член ряда называется так же общим членом ряда.

Определение 1. Сумма первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда и обозначается : .

Определение 2. Суммой ряда называется предел последовательности частичных сумм , если он существует и конечен. В этом случае то ряд называют сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Определение 3. Ряд , полученный из ряда отбрасыванием первых его m членов называется m -м остатком ряда.

Если сумму остатка сходящегося ряда обозначить через , то, очевидно, .

Справедливы следующие теоремы:

Теорема 1. Отбрасывание ряда, или присоединение к ряду любого конечного числа начальных членов не меняет его сходимости или расходимости.

Теорема 2. Если ряд сходящийся, то .

Теорема 3. Если члены ряда , имеющего сумму S, умножить на число , то полученный ряд будет также сходящимся, а число – его суммой.

Теорема 4. Умножение членов расходящегося ряда на число не нарушит его расходимости.

Теорема 5 (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел последовательности его членов равен 0: .

Отсюда следует, что если , то ряд расходится.

Теорема 6 (Критерий Коши). Для того, чтобы ряд сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого существовало число (зависящее только от ) такое, что для всех и любого натурального k было справедливо неравенство .

Знакоположительные ряды

Если все члены ряда положительные, то ряд называют знакоположительным.

Приведем признаки сходимости знакоположительных рядов.

Признаки сравнения. Пусть имеем 2 знакоположительных ряда:

(1);

(2).

1. Если для всех членов рядов (1) и (2), начиная с некоторого номера, выполняется равенство , то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

2. Если существует конечный предел , то оба ряда (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно.

Замечание 1. Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими рядами:

а) , (геометрическая прогрессия, сходящаяся при и расходящаяся при );

б) (расходящийся гармонический ряд);

в) (обобщенный гармонический ряд, сходящийся при и расходящийся при ).

Замечание 2. Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквиваленты при (), то оба ряда (в смысле сходимости) ведут себя одинаково.

Признак Даламбера. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Коши. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Признак Раабе. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым, т.е. о сходимости или расходимости ряда ничего сказать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Интегральный признак. Если функция непрерывна, неотрицательна и не возрастает при , то ряд сходится или расходятся одновременно с несобственным интегралом .

Признак Бертрана. Если – знакоположительный ряд и существует конечный или бесконечный предел , то при ряд сходится; при ряд расходится; при вопрос остается открытым.

Замечание. При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих часто бывает полезна формула Стирлинга .

Примеры решения типовых задач

 

Пример 1. Найти сумму ряда .

Решение. Составим частичную сумму:

.

Пример 2. Найти сумму ряда

Решение. Составим последовательность частичных сумм:

,

,

,

тогда, если , то .

Следовательно, .

Пример 3. Найти сумму ряда .

Решение. Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей:

;

………………

;

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Проверим выполнение необходимого условия . Необходимое условие выполняется, однако, это не означает, что ряд сходится. Исследуем на сходимость с помощью достаточных признаков. Этот ряд можно исследовать на сходимость с помощью признака сравнения. Сравним исследуемый ряд с гармоническим рядом . Начиная с члены нашего ряда больше соответствующих членов гармонического ряда

так как при , . Гармонический ряд расходится, следовательно, расходится и ряд

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. при . Ряд – обобщенный гармонический ряд с показателем сходится. Значит, данный ряд , члены которого эквивалентны членам обобщенного гармонического ряда, сходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Используем признак Даламбера. Имеем:

Следовательно, исследуемый ряд сходится.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Здесь удобно применить признак Коши. Следовательно, ряд расходится.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Воспользуемся предельным признаком сравнения. Вместо ряда можно исследовать на сходимость более простой ряд , так как Применим интегральный признак сходимости ряда. Вычислим несобственный интеграл от функции , удовлетворяющей условиям интегрального признака.

Интеграл расходится, значит будет расходится и ряд.