Решение систем линейных алгебраических уравнений

(СЛАУр)

 

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

. (1)

 

Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то такая система называется неоднородной. Если же , то такая система называется однородной.

Решением системы (1) называется упорядоченная совокупность чисел , которая при подстановке в систему обращает все уравнения системы в верные равенства.

Если система имеет решение, то она называется совместной, если не имеет решения – то несовместной. Если система имеет единственное решение, то она называется определенной, если более одного решения, то – неопределенной.

 

 

Формулы Крамера для решения СЛАУр

 

Если определитель системы , то эта система имеет единственное решение, которое можно получить по формулам Крамера. Формулы Крамера имеют вид

,

где

.

В знаменателях этих формул стоит определитель системы , а в числителях – определители, которые получаются из определителя системы заменой коэффициентов при соответствующих неизвестных столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решить систему по формулам Крамера.

Решение

Формулы Крамера: . Вычислим определители:

 

,

, тогда

 

, , .

Итак, , , .

Ранг матрицы

 

Пусть дана матрица .

 

Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля ее миноров. Обозначение: rang A, r (А) или r.

Очевидно, – меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. Вычисление всех миноров отличных от нуля трудоемкая операция. На практике для вычисления r (A) используют метод Гаусса.

Элементарными преобразованиями называются следующие действия над матрицами:

1. Вычеркивание нулевой строки.

2. Умножение какой либо строки на число.

3. Прибавление к одной из строк другой строки, умноженной на любое число.

4. Перестановка двух столбцов или двух строк.

 

Теорема 1. Ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.

 

Рассмотрим матрицу специального вида

в которой все «диагональные элементы» отличны от нуля, а все элементы расположенные ниже диагональных, равны нулю. Такую матрицу будем называть трапециевидной. При r = n она будет треугольной.

 

Теорема 2. Ранг трапециевидной матрицы равен числу ее ненулевых строк.

 

Теорема 3. Всякую матрицу можно с помощью конечного числа элементарных преобразований привести к трапециевидному виду.

 

Метод Гаусса вычисления ранга матрицы состоит в приведении матрицы к трапециевидному виду и в подсчете ее ненулевых строк.

 

Пример 2.

Найти ранг матрицы .

Решение

~ ~

На первом шаге первую строку матрицы умножили на (-2) и сложили со второй строкой, умножили первую строку на (-4) и сложили с третьей строкой. На втором шаге вторую строку умножили на (-3) и сложили с третьей строкой. Нулевую строку вычеркнули. Таким образом, ранг матрицы r = 2.