Комплексне креслення площини

ВСТУП

Теоретичною основою інженерної графіки є нарисна геометрія, яка розглядає рішення математичних та інженерно-технічних задач за допомогою графічних методів. При цьому використовується метод проекціювання, який дозволяє отримати графічні зображення геометричних образів на три взаємно перпендикулярні площини проекцій П₁, П₂ і П₃.

Найбільш поширеним є ортогональне, або прямокутне проекціювання. При такому проекцію ванні з будь-якої точки геометричного образу, який знаходиться у просторі, проводять перпендикуляри до перетину з П₁, П₂ та П₃.

Таким чином отримують проекції різних точок, прямих, площин та інших геометричних елементів.

На основі аналізу проекцій, використання відповідних теоретичних положень та методик графічних побудов на кресленні отримують рішення вищезгаданих задач.

Для рішення кожної задачі необхідно:

1) вивчити відповідний теоретичний розділ курсу;

2) проаналізувати графічну умову задачі (визначити положення відносно П₁, П₂, П₃ та основні властивості проекцій кожного геометричного образу);

3) розробити план рішення задачі, виходячи з умови мінімальної кількості графічних побудов;

4) записати алгоритм рішення (послідовність операцій) задачі;

5) виконати необхідні побудови.

При написанні алгоритму слід використовувати наступні позначення та символи:

1) площини проекцій – горизонтальна П₁, фронтальна П₂, профільна П₃;

2) вісі проекцій – х, у, z;

3) позначення проекцій точок – горизонтальна А₁, фронтальна А₂, профільна А₃;

4) проекції точки А на вісі проекцій – A_x, A_y, A_z;

5) проекції відрізка прямої – А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃;

6) h – горизонталь, f – фронталь, p – профільна пряма (прямі рівня);

7) прямі – a, b, c, d,…;

8) площини – А (альфа), Г (гамма), Δ (дельта), Σ (сигма), Θ (тета);

9) сліди площин – горизонтальний Г_П1, фронтальний - Г_П2, профільний - Г_П3;

10) належність - Ì, Î;

11) паралельність - ||;

12) перпендикулярність - ^;

13) дотичність –

14) мимобіжність –

15) співпадання - ≡;

16) пересічність - ∩, Х;

17) рівність, результат - =;

18) перетворення - ®;

19) еквівалентність – Û;

20) знак імплікації: якщо …, то … - Þ.

 

 

1 Ортогональні проекції точки

Механізм утворення проекції точки пояснює об’ємна модель (рис. 1). Для отримання проекцій точки А необхідно побудувати перпендикуляри до перетину з П₁, П₂, П₃.

Точки перетину перпендикулярів з П₁, П₂, П₃ визначають положення А₁, А₂, А₃. A_x, A_y, A_z – проекції точки А на вісі X, Y, Z.

На практиці використовують площинне креслення (епюр Монжа), яке отримують при суміщенні П₁ та П₃ з П₂ за напрямком стрілок (рис. 2).

Рис. 1 Рис. 2

Основні властивості площинного креслення Монжа (рис. 2):

1) А₂А₁^Х; 2) А₂А₃^Z; 3) |A₁A_X|=|A_ZA₃|=|AA₂|.

1.1 Побудувати проекції точок за їх координатами:

А(10;20;30); В(15;25;0); С(0;30;35); D(20;0;40);

E(25;0;0); F(0;35;0); K(0;0;0).

1.2 Побудувати проекції точки А` симетрично точці А відносно площини П₁.

1.3 Побудувати проекції L за координатами L(15;-20;30).

 

 

1.4 Побудувати відсутні проекції точок

2 Ортогональні проекції прямої

Положення прямої визначається положенням двох точок цієї прямої.

В системі П₁, П₂, П₃ пряма може займати сім положень:

- загальне (не паралельне та не перпендикулярне до П₁, П₂, П₃);

- прямі рівня (h|| П₁; f|| П₂; p|| П₃);

- проекцюючі прямі (^П₁, ^П₂, ^П₃).

Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої. Н – горизонтальний слід, F – фронтальний слід, Р – профільний слід.

Для визначення натуральної величини відрізка прямої використовують метод прямокутного трикутника.

Пропорційний поділ відрізка прямої виконують з використанням допоміжної прямої.

Точка належить до прямої, якщо її проекції розташовані на однойменних проекціях прямої.

2.1 Побудувати відсутні проекції прямих та визначити їх положення відносно П₁, П₂, П₃.

2.2 Визначити натуральну величину відрізка АВ, кути нахилу до П₁, П₂, а також побудувати сліди цієї прямої.

 

2.3 За заданими слідами побудувати проекції прямої CD та поділити її у співвідношенні 2:3.

2.4 На прямій АВ визначити точку К на відстані 20 мм від П₁ та точку D на відстані 30 мм від П₂.

2.5 Визначити чи належить точка А до прямої n.

2.6 На прямій АВ визначити точку С рівновіддалену від П₁ та П₂, точку D рівновіддалену від П₁ та П₃, точку Е рівновіддалену від П₂ та П₃.

3 Взаємне положення двох прямих

Паралельні прямі – дві прямі паралельні, якщо їх однойменні проекції також паралельні.

Пересічні прямі – у пересічних прямих однойменні проекції перетинаються, а проекції точки перетину розташовані на одній лінії проекційного зв’язку.

Мимобіжні прямі – у мимобіжних прямих проекції перетинаються, але проекції точок перетину не розташовані на одній лінії проекційного зв’язку. При цьому виникає необхідність визначити видимість проекцій цих точок.

На П₂ буде видима точка, горизонтальна проекція якої розташована нижче від осі Х. На П₁ буде видима точка, горизонтальна проекція якої розташована вище від осі Х.

Якщо одна сторона прямого кута паралельна площині проекцій, то на цю площину прямий кут проекцюється без спотворення.

3.1 Визначити взаємне положення прямих, а також видимість точок мимобіжних прямих.

3.2 Через точку С побудувати пряму l||AB та пряму m, яка перетинає АВ в точці D на відстані 15 мм від П₂.

3.3 Побудувати сліди прямої m, яка проходить через точку К та перетинає прямі АВ та СD.

3.4 Визначити взаємне положення прямих.

3.5 Визначити відстань від точки А до прямої l.

3.6 Через точку С побудувати пряму l, що перетинає пряму АВ.

3.7 Побудувати пряму BD ^ AC. Точка В належить П₂, а точка D – П₁.

Комплексне креслення площини

Площину на кресленні задають наступними геометричними елементами:

- проекціями трьох точок, які не належать одній прямій;

- проекціями прямої та точки, що не належить цій прямій;

- проекціями паралельних прямих;

- проекціями пересічних прямих;

- проекціями плоскої геометричної фігури;

- слідами площини.

Слід площини – це лінія перетину заданої площини з площиною проекцій.

Відносно П₁, П₂ та П₃ площина може займати наступні положення:

- загальне (не паралельне та не перпендикулярне до П₁, П₂ та П₃);

- площини рівня (паралельні до П₁, П₂ або П₃);

- проекцюючі площини (перпендикулярні до П₁, П₂ або П₃).

Слід проекцюючої площини, який розташований на площині проекцій, до якої ця площина перпендикулярна, має збиральну властивість.

Головні лінії площини:

- горизонталь площини (h) – це пряма, яка належить площині і паралельна до П₁;

- фронталь (f)– пряма площини паралельна до П₂;

- лінія найбільшого схилу – пряма, що належить площині перпендикулярна до горизонталі цієї площини.

Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки цієї площини або одну точку і паралельна до іншої прямої цієї площини.

Точка належить площині, якщо вона належить прямій, що знаходиться у цій площині.

4.1 Побудувати горизонтальну проекцію чотирикутника ABCD.

4.2 Побудувати горизонталь і фронталь площини Σ (А, В, С).

4.3 У площині Г побудувати фронталь на відстані 15 мм від П₂ та горизонталь на відстані 20 мм від П₁.

4.4 Побудувати горизонтальний слід Г_П1 за умови, що АÎГ.

 

4.5 Побудувати відсутні проекції трикутників АВС та DEF, які належать площинам Г та А відповідно.

 

4.6 Площину Г (l;A) задати слідами.

 

4.7 Побудувати відсутні проекції прямих а та b, якщо т. А, прямі a, b, c належать одній площині.

5 Взаємне положення прямої та площини, двох площин

Паралельність прямої та площини, паралельність двох площин

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна до будь-якої прямої цієї площини.

Дві площини паралельні між собою, якщо дві пересічні прямі однієї площини паралельні двом пересічним прямим другої площини.

Перпендикулярність прямої та площини, двох площин

Пряма перпендикулярна площині, якщо вона перпендикулярна до двох пересічних прямих цієї площини (фронталь та горизонталь). При цьому L₂^f₂, L₁^h₁.

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна площина має пряму, перпендикулярну до другої площини. Рішення задачі зводиться до побудови прямої, перпендикулярної до площини, і проведення через довільну точку перпендикуляра довільної пересічної прямої. Дві пересічні прямі і визначають площину перпендикулярну до заданої.

5.1 Визначити чи паралельна пряма l до площини Γ (m; С).

5.2 Побудувати горизонтальну проекцію трикутника АВС, площина якого паралельна прямій l.

5.3 Через точку А провести площину Δ || Г.

5.4 Побудувати горизонтальну проекцію прямої mÎА, паралельної площині Г.

5.5 Перевірити паралельність двох площин Θ (АВС) та Δ (l || m).

5.6 Перевірити паралельність двох площин Σ (АВС) та Г.

5.7 Через точку А побудувати пряму перпендикулярну площині Δ (m||n) та Г.

5.8 Через точку А побудувати площину Σ, перпендикулярну до прямої l: а) площину задати пересічними прямими; б) площину задати слідами.

5.9 Через точку А провести пряму l ^ m.

5.10 Через точку А провести площину Г ^ ΔАВС.

5.11 Через точку А побудувати площину Г ^ Δ (l X m), Г задати слідами.

 

5.12 Через пряму АВ провести площину, перпендикулярну до Г.

6 Перетин двох площин, прямої та площини

Перетин двох площин. Результатом перетину двох площин є пряма лінія, для побудови якої необхідно визначити положення двох точок, які одночасно належать обом площинам.

Якщо площини на креслені задані слідами, які перетинаються у межах креслення, то задача зводиться до побудови слідів лінії перетину, які знаходяться на перетині слідів площин. Одна проекція сліду знаходиться на перетині однойменних слідів площин, а інша – на вісі Х.

В інших випадках необхідно використовувати допоміжні проекцюючі площини-посередники, які дозволяють отримати точки лінії перетину площин.

Перетин прямої та площини. Результатом перетину прямої та площини є точка. Для побудови її проекцій необхідно:

1) через пряму провести допоміжну проекцюючу площину;

2) побудувати лінію перетину допоміжної та заданої площин;

3) позначити точку перетину заданої прямої та лінії перетину площин.

Лінія перетину двох площин ділить площини на видиму та невидиму частини. Точка перетину прямої та площини аналогічно ділить пряму на видиму та невидиму частини. В обох випадках видимість визначається для довільно обраних мимобіжних прямих за методом конкуруючих точок.

6.1 Побудувати лінію перетину двох площин.

6.2 Побудувати лінію перетину та визначити видимість площин.

6.3 Побудувати точку перетину прямої l та площини. Визначити видимість прямої l.