Центральна гранична теорема

T I T M C _ H A N D B O O K

 

1. Простір елементарних подій. Випадкові події, операції над ними.

Стохастичний експеримент – експеримент, який можна повторювати будь-яку кількість разів і наслідки якого не можна передбачити наперед. (наприклад підкидання монети, грального кубика)

 

(омега велике) – усі можливі наслідки стохастичного експерименту – простір елементарних подій.

 

– елементарний наслідок або елементарна подія

 

Операції над подіями:

 

1. Доповнення:

2. Об’єднання: *

* – диз’юнкція – „або”

3. Перетин/переріз: **

** – кон’юнкція – „і”

4. Різниця:

 

Зв’язок між подіями

 

1. Правило Де-Моргана:

 

 

2. (різниця через перетин):

 

2. Імовірності в дискретних просторах елементарних подій.

 

– дискретна множина

має імовірність

Нехай

 

3. Дати частотне та класичне означення імовірності та вказати властивості імовірностей.

 

Нехай є довільний стохастичний експеримент

 

– частота події А; Скільки разів подія А з’явилася при n повтореннях цього експерименту;

 

Імовірність

Властивості:

1.

2. – достовірна подія

3. Нехай є дві події А,В, , то

 

Частотне означення імовірності (або озн. імов. Мізеса)

 

Якщо існує границя – імовірність події А; при цьому подія А – стохастично стійка.

 

Недоліки такого означення: (неможливо зробити експериментів); якщо не існує границі – не існує імовірності.

 

Класичне означення імовірності (XVI-XVII ст.)

 

Нехай – скінченний простір. () і всі елементарні наслідки рівноможливі (); тоді якщо , то

 

– імовірність довільной події А дорівнює число m події А поділити на загальну кількість точок.

 

4. Дати геометричне означення імовірності. Задача Бюффона.

 

(Евклідовий простір)

 

, міра – довжина

2х мірний, міра – площа

3х мірний, міра – об’єм

Міра Лебега

 

 

Властивості:

1)

2)

3)

 

Задача Бюффона

 

Нехай є простір розчерчений паралельними прямими, відстань між прямими – 2 а. На цю площину довільним чином кидається голка довжиною 2 l. Яка імовірність того, що голка перетне одну з прямих?

 

(що можна використати для наближенного обчислення )

 

 

5. Аксіоми теорії імовірностей.

 

Аксіома1:

А2:

А3 (зліченої адитивності):

 

,

 

А4 (скінченної адитивності):

 

6. Властивості імовірностей.

1)

2)

3)

4)

5) (наслідок 4ї):

6) Теорема додавання імовірностей:

 

7. Умовні імовірності. Приклад.

 

– А при умові В

 

Формальне означення:

 

Формула множення імовірностей:

 

8. Довести формулу повної імовірності.

 

– повна група подій, якщо:

1)

2)

 

Доведення:

Довести формулу Байеса.

 

Формула Байеса

 

– апріоні імовірності

– апостеріорні імовірності

 

10. Незалежні події. Властивості незалежних подій.

 

1) А і В – незалежні, якщо

2)

 

Незалежність в сукупності

називаються незалежними в сукупності, якщо для будь-якого цілого для будь-яких k подій імовірність перетину

 

11. Математичне сподівання дискретних випадкових величин.

 

Математичне сподівання – середнє ймовірнісне значення випадкової величини.

 

 

12. Властивості.

 

Властивості математичного сподівання:

1. Якщо , то

2.

3.

4.

5.

6. Якщо і – незалежні, то

7. Математичне сподівання функції від випадкової величини:

 

13. Дисперсія дискретних випадкових величин. Властивості.

 

Дисперсія – середньоквадратичне відхилення випадкової величини від свого математичного сподівання

 

 

Властивості дисперсії

1.

2.

3.

4.

5. Якщо і – незалежні, то

 

14. Коефіцієнт кореляції випадкових величин. Властивості.

 

Коефіцієнт кореляції – міра залежності випадкових величин

 

 

 

Властивості:

1. Якщо – незалежні, то

2.

3. – лінійна залежність (найсильніша)

– пряма залежність

– обернена залежність

 

Зауваження: З того, що не випливає незалежність випадкових величин.

 

15. Локальна та інтегральна теорема Муавра-Лапласа та їх застосування.

 

Локальна теорема Муавра-Лапласа:

 

Якщо , тоді , де

 

, де (функція Лапласа)

 

Інтегральна теорема Муавра-Лапласа:

 

 

– інтегральна функція Лапласа

Використовується якщо або (конспект)

 

16. Теорема Пуассона та її застосування.

 

Якщо , то

 

Використовується якщо (конспект)

 

17. Біномінальний розподіл. Обчислити .

 

n – кількість експериментів

p – імовірність успіху

q – імовірність неудачі

– загальне число успіхів в n експериментах

 

 

m – найбільш імовірне число успіхів

 

Математичне сподівання:

 

 

Дисперсія:

 

 

18. Геометричний розподіл. Обчислити .

 

Імовірність успіху – p, невдачі – q. Експерименти проводяться до першої появи успіху;

– кількість послідовних неудач.

 

 

 

 

 

19. Пуассонівський розподіл. Обчислити .

 

- додатнє число, параметр розподілу

 

 

 

 

20. Функції розподілу випадкових величин. Властивості.

 

– функція розподілу

 

Властивості:

 

1)

2) – неперервна зліва

3) – неспадна:

4)

5) Якщо a, b – точки неперервності F(x), то

 

 

6)

якщо а – точка неперервності, то

 

21. Щільність випадкових величин. Властивості.

 

, де щільність неперервної випадкової величини.

 

Властивості:

 

1)

2)

3)

4)

 

22. Математичне сподівання та дисперсія неперервних випадкових величин.

 

Математичне сподівання:

 

Властивості:

 

1)

2)

3)

4)

5)

6) Якщо і – незалежні, то

 

 

Дисперсія:

 

 

 

23. Рівномірний розподіл на відрізку [ a, b ]. Обчислити .

 

 

 

 

 

 

24. Показниковий розподіл. Обчислити .

 

 

 

 

 

25. Нормальний розподіл. Обчислити .

 

 

 

– дзвіноподібна функція

 

Якщо , , то розподіл стандартний

 

 

26. Нормальний розподіл. Обчислити .

 

 

 

– дзвіноподібна функція

 

Якщо , , то розподіл стандартний

 

 

27. Довести нерівність Чебишева.

 

Нерівність Чебишева:

 

Нехай для існує

 

Тоді для

Правило 3 : Нехай , тоді

 

28. Закон великих чисел. (Теорема Хінчина, теорема Чебишева).

 

Будь-яке твердження про збіжність середньоарифметичних випадкових величин називається законом великих чисел.

 

 

Теорема Хінчина:

 

Нехай – послідовність незалежних, однаково розподілених випадкових величин (п.н.о.р.в.в.)

 

 

Тоді

 

Теорема Чебишева:

 

Нехай – п.н.в.в.

 

 

 

Тоді:

 

Доведення теореми Чебишева:

 

 

 

Центральна гранична теорема.

 

Нехай п.н.о.р.в.в.

 

Тоді:

 

 

 

 

30. Емпірична функція розподілу.

 

невідома функція розподілу

 

 

(випадкова частота)

 

емпірична функція розподілу

 

 

Асимптотичні властивості емпіричної функції розподілу:

 

Теорема Глівенка:

 

Теорема Колмогорова:

 

– неперервна

 

 

– функція розподілу Колмогорова

 

 

Побудова емпіричної функції розподілу:

І. Для дискретної статистичної таблиці

 

 

ІІ. Для інтервальної статистичної таблиці

 

 

31. Гістограма та полігон частот.

Полігон частот:

Для дискретної статистичної таблиці:

Ордината точки – , абсциса – ; Справа/зліва опускати ламану до нуля, останній інтервал дорівнює попередньому (якщо є обмеження, наприклад не менше нуля, опускати в точку обмеження)

 

Для інтервальної статистичної таблиці:

Ордината – (, довжина інтервалу), абсциса – середина інтервалу. Справа/зліва опускати ламану до нуля, перший/останній інтервал дорівнює другому/передостанньому (якщо є обмеження, наприклад не менше нуля, опускати в точку обмеження)

 

Гістограма – фігура, яка складається з прямокутників, основою яких є інтервали довжини , а висоти – .

 

Площа гістограми:

 

(так само як площа під щільністю)

Мода.

 

Мода – число, яке найчастіше зустрічається у вибірці. (aka „найпопулярніше” число)

 

Для дискретної таблиці ; Якщо два послідовних значення мають макс , то береться сер. Арифметичне цих значень.

 

Для інтервальної таблиці:

Якщо два максимуми – порахувати Мо для кожного окремо і взяти сер. арифметичне.

 

33. Медіана.

 

медіана , якщо

1. Для дискретної таблиці

а)

б)

2. Для інтервальної таблиці

 

 

34. Статистичне оцінювання невідомих параметрів розподілів. Властивості оцінок.

 

Нехай є вибірка з функцією розподілу . Оцінка невідомого параметра (функція від вибірки) називається статистикою.

 

 

Класифікація оцінок:

 

1. Оцінка невідомого параметра називається незміщеною, якщо ; якщо – оцінка зміщена.

Зміщена оцінка: зсув оцінки

2. Незміщена називається спроможною, якщо:

3. параметра називається асимптотично нормальною, якщо

4. Незміщена параметра називається оптимальною, якщо дисперсія цієї оцінки найменша серед дисперсій усіх можливих незміщених оцінок.

 

35. Вибіркове математичне сподівання.

 

 

 

вибіркове середнє

 

1. незміщенна

2. спроможна

3. ас.нормальна

4.

 

Зауваження: для більшості класичних розподілів буде оптимальною оцінкою, але є випадки коли вона не є оптимальною (наприклад для рівномірного розподілу)

 

36. Вибіркова дисперсія.

 

 

1. – відоме

 

незміщена

 

2. – невідоме

 

 

тому:

– незміщена

– спроможна і асимптотично нормальна оцінка, але не для всіх розподілів оптимальна.

 

37. Метод максимльної правдоподібності. Приклад.

 

ММП:

 

Функція правдоподібності

 

 

– точка максимуму функції правдоподібності або оцінка МПП

 

Спрощення:

 

 

– рівняння правдоподібності. Розв’язок рівняння - .

 

Перевірка , якщо

 

38. Надійні інтервали для математичного сподівання нормального розподілу.

 

 

1) відомий

2) невідомий

 

 

39. Надійні інтервали для дисперсії нормального розподілу.

 

 

1) відомий

2) невідомий

 

 

40. Надійні інтервали для параметрів пуассонівського та біномінального розподілів.

 

Пуассонівський розподіл:

 

 

 

Біномінальний розподіл:

, х – число успіхів n експериментів

 

 

 

41. Критерії згоди. Критерій .

 

Критерій згоди Пірсона (хі-квадрат) використовується для перевірки гіпотез у поліноміальній схемі. А саме: Нехай проводиться незалежних випробувань, кожне з яких може мати різних результатів . Необхідно перевірити гіпотезу про те, що імовірності цих результатів дорівнюють , якщо в послідовності випробувань ці результати зустрілися разів.

 

Критерій для перевірки гіпотези про розподіл:

 

(проста гіпотеза – без параметрів)

 

 

Розрахунок:

 

Якщо:

 

Якщо перевіряється складна гіпотеза:

 

 

Оцінкa МПП

 

кількість невідомих параметрів. Тоді число степенів свободи

 

42. Критерії для перевірки гіпотези однорідності вибірок.

 

Є випадкових величин

 

(всі функції розподілу однакові)

 

 

теоретична частота

 

 

43. Критерій для перевірки гіпотези незалежності двох вибірок.

 

 

незалежні

залежні

 

 

Прийняття рішення про справедливість гіпотези аналогічне критерію однорідності.

 

44. Критерії значимості для параметрів нормального розподілу.

 

 

(задана); будуємо надійний інтервал , якщо

 

1) відоме;

2) невідоме;

3) відоме;

4) невідоме;

 

 

45. Перевірка гіпотези про рівність математичних сподівань двох нормальних сукупностей.

 

 

а) невідомі, відомі

 

 

 

 

б) невідомі

 

 

Припущення:

 

 

 

46. Перевірка гіпотези про рівність дисперсій двох нормальних сукупностей.

 

в) відомі, невідомі

 

 

 

1) Якщо

2) Якщо

 

г) невідомі

 

 

Знайти

 

1) Якщо

2) Якщо

 

47. Лінійна регресія.

 

 

 

 

 

 

Якщо будувати регресію не можна

 

(2 – кількість невідомих параметрів)

 

 

Гіпотеза

 

(тоді , тобто і - некорельовані)

 

( -статистика)

Якщо , величини некорельовані

 

 

 

Якщо – тоді регресія побудована правильно

 

 

лінійна регресія вірна

 

48. Коефіцієнт кореляції рангів Спірмена.

 

Припущення: Нехай всі ранги різні

 

(коеф. Кореляції рангів Спірмена)

 

49. Коефіцієнт кореляції рангів Кандела.

 

Деякі ранги не можна розрізнити

 

 

 

Якщо додатнє – позитивний зв’язок і навпаки.

Ближче до 1 – сильний, до 0 – слабкий.

 

50. Однофакторний дисперсійний аналіз.

 

Дисперсійний аналіз – статистичний метод аналізу результатів спостережень які залежать від різних одночасно діючих факторів, вибір найбільш важливих із них та оцінка їх впливу.

 

В залежності від кількості факторів – n-факторний дисперсійний аналіз

 

Однофакторний дисперсфйний аналіз

 

 

вплив фактору а,

рівень фактору а

число рівнів фактору а

 

номер спостереження

 

(загальна кількість спостережень)

 

 

(тотожність дисперсійного аналізу)

 

(відхилення по фактору а або міжгрупове відхилення)

 

(дисперсія фактору а)

 

(залишкова дисперсія)

 

– загальна незміщенна оцінка ()

 

Якщо – фактор а впливає; чим більше – тим більший вплив

Якщо – фактор а не впливає

 

51. Двофакторний дисперсійний аналіз.

 

 

вплив фактору А,

рівень фактору А

число рівнів фактору А

вплив фактору В,

рівень фактору В

число рівнів фактору В

 

 

(загальне середнє)

 

 

(тотожність дисперсійного аналізу)

 

(відхилення по фактору А)

(відхилення по фактору В)