Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и функции, их свойства и связь. Примеры.

 

Бесконечно малая последовательность — последовательность, предел которой равен 0.

То есть lim _n ® ¥ x_n = 0 или более подробно с учетом определения предела " e>0 $ N: " n>N |x_n| < e Þ x_n.

Пример: Последовательность x_n = 1/n является бесконечно малой последовательностью.

Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности. x_n – бесконечно большая последовательность, если " c> 0 $ N: " n>N |x_n|>c.

Пример. Последовательности n, 2 ⁿ являются бесконечно большими.

Лемма 1. Если a _n — бесконечно малая последовательность, то 1 / a _n —бесконечно большая последовательность.

Пример 23. Пусть a_n = 1/n, которая является бесконечно малой, тогда последовательность b _n = 1/a _n = n будет бесконечно большой.

Свойства бесконечно малых последовательностей

1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

3. Бесконечно малая последовательность ограничена.

4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.

Следствие 1. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Функция f(x) называется бесконечно малой при х®а, где а может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если.

Примеры: 1) Функция f(x) = tgx – бесконечно малая при x→0.

2) f(x) = ln (1+x) – бесконечно малая при x→0.

Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет.

Бесконечно большая функция - функция переменного х, которая в данном процессе изменения х становится и остается по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Точнее, функция f(x), определенная в окрестности точки х₀, наз. бесконечно большой функцией при х, стремящемся к x₀, если для любого числа М > 0 найдется такое число δ = δ (М) > 0, что для всех х ≠ х₀ и таких, что |х - х₀ | < δ, выполняется неравенство |f(x)| > M. Этот факт записывается так:

Аналогичным образом определяются: Например:

Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями

1. Если f (x) — бесконечно большая функция при x → x ₀, то — бесконечно малая функция при x → x ₀.

2. Если α (x) — бесконечно малая функция при x → x ₀ и " x Î O (x ₀) α (x) ≠ 0, то — бесконечно большая функция при x → x₀.

Свойства бесконечно малых

§ Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

§ Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

§ Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

§ Если a_n — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.