Теорема Лебега о представлении функции распределения

 

ξ имеет сингулярное распределение, если фр непрерывна, а множество ее точек роста имеет нулевую меру Лебега

7. Основные типы распределений: дискретное, абсолютно непрерывное и сингулярное.

Фр произвольной ξ может быть представлена в виде смеси трех компонент:

F_ξ(x)=w₁F_д(x)+ w₂F_н(x)+ w₃F_с(x),

 

F_д(x) – фр дискретного типа

F_н(x) – фр абсолютно непрерывного типа

F_с(x) – фр сингулярного типа

ξ имеет абсолютно непрерывное распределение если существует f_ξ(x)≡f(x), называемая плотностью распределения вероятностей такая что

 

Определение случайного вектора.

– случайный вектор, если – случайные величины.

Понятие совместного распределения.

Совместное распределение определяет закон распределения всех компонент случайного вектора

Функция распределения случайного вектора.

Совместная фр:

Ее свойства.

1)

2) Является неубывающей и непрерывной слева по каждому аргументу

3) Если один из аргументов то

4) Частные распределения согласованы с совместным распределением соотношениями вида

 

5) Функция распределения вектора позволяет найти вероятность попадания в параллелепипед. В двумерном случае, если , то

 

Частное распределение случайного вектора.

Частное (маргинальное) распределение представляет законы распределения части компонент вектора

Частная функция распределения случайного вектора.

вопрос 24 + 14

Связь между совместной и частной функцией распределения.

Частные распределения согласованы с совместным распределением соотношениями вида

 

 

Независимые случайные величины.

СВ – независимы если для любых случайные события независимы в совокупности

Случайные величины независимы тогда и только тогда, когда

Условное распределение случайного вектора.

Условное распределение представляет закон распределения одной части компонент вектора при заданных значениях остальных компонент (или некоторых других компонент)

Вектор средних случайного вектора.

Ковариация (корреляционный, ковариационный) момент.

Коэффициент корреляции.

Ковариационная (дисперсионная) матрица.

Векторно-матричная форма записи.

Корреляционная матрица.

Двумерный дискретный случайный вектор.

Двумерное распределение св X и Y можно представить в виде таблицы распределения, в каждой клетке которой располагаются вероятности P(X=x_i, Y=y_j) = p_ij, i=1..n, j=1..m

Нахождение частного распределения.

где

Вероятность попадания в область.

Вычисление математического ожидания функции от дискретного случайного вектора.

 

Условное распределение.

Нахождение условного распределения случайной величины Y при заданном X = x_i.

Опр: yj, для которого P(X=xj Y=yj)>0, затем:

P(Y=yj | X=xi) = P(X=xi, Y=yj)/P(X=xi)=p_ij/p_i.