TIN-модели представления поверхностей. Их преимущества и недостатки

Структура данных TIN позволяет вам точно воссоздать любой тип поверхности. В TIN можно не только интерполировать высоты для любого местоположения, но и хранить такие естественные перегибы в уклоне поверхности, как гребни и тальвеги.

Термин нерегулярная триангуляционная сеть (triangulated irregular network) точно описывает свойства TIN.

"Нерегулярная" определяет ключевое преимущество TINs в моделировании поверхности — точки могут быть взяты с переменной плотностью для моделирования поверхности: для описания ровных или плавно меняющихся участков поверхности достаточно небольшого числа точек, для описания резко изменяющего рельефа поверхности выбирается большее число точек.

"Триангуляционная" указывает на способ построения оптимизированного набора треугольников по набору точек. Треугольники дают хорошее представление о локальной части поверхности, так как три точки со значениями z однозначно определяют плоскость в трехмерном пространстве.

TIN строятся по 3D точкам, то есть точкам, имеющим 3 координаты (X,Y,Z). По этим исходным точкам выполняется триангуляция по набору точек. В TIN треугольники называют гранями (faces), точки становятся узлами (nodes) граней, а линии граней называют ребрами (edges). Каждая грань TIN является частью плоскости в трехмерном пространстве. Все грани в TIN точно смыкаются с соседними в каждом узле и вдоль каждой грани. Грани не могут пересекать друг друга.

"Сеть" отражает топологическую структуру, которая присуща TIN. Такая структура делает возможным сложный анализ поверхности и, кроме того, компактное представление поверхности.

 

30.Методы интерполяции: ОВР, Сплайн, Тренд.

Поскольку реальные поверхности непрерывны, невозможно зафиксировать все составляющие их местоположения. Поэтому описывающие их модели основываются на конечном числе точек, а для заполнения промежутков между этими местоположениями используются математические методы, называемые интерполяцией.

Метод обратно взвешенных расстояний (ОВР или IDW). Этот метод предполагает, что влияние значения измеренной переменной убывает по мере увеличения расстояния от точки замера. ОВР вычисляет значения ячеек, усредняя значения точек замеров, находящихся вблизи каждой ячейки. Чем ближе точка к центру оцениваемой ячейки, тем больший вес, или влияние, имеет ее значение в процессе вычисления среднего. Для определения значения в каждой выходной ячейке может быть использовано либо заданное число точек, либо все точки в пределах заданного радиуса. Этот метод следует применять, когда влияние переменной уменьшается с увеличением расстояния от точки измерения. Например, в большинстве случаев степень загрязнения окружающей среды быстро уменьшается при удалении от его источника. Средневзвешенное значение вычисляется как: Ž(s0)=Σλ i Z(s i), N i=1

где Z(s_i) - измеренное значение в ячейке i; λ_i - вес измеренного значения ячейки i; Ž(s₀) –значение в рассчитываемой ячейке; N - число измеренных ячеек, участвующих в интерполяции.

В ArcGIS при использовании метода ОВР вы можете контролировать несколько параметров интерполяции: степень, тип радиуса и барьеры. Степень: Вы можете контролировать влияние точек замеров на интерполированное значение на основании их расстояния от ячейки. При задании большого показателя степени влияние ближних точек будет более значительным, поверхность получится более детальной и менее гладкой. Задание меньшего показателя степени увеличит влияние дальних точек, и поверхность получится более гладкой. Обычно используется степень 2, она же установлена по умолчанию.

На характеристики интерполируемой поверхности влияет также выбор радиуса (фиксированного или переменного), который ограничивает количество исходных точек участвующих в интерполяции значения ячейки.

Тип радиуса - фиксированный. При фиксированном радиусе величина радиуса постоянна, поэтому для всех интерполируемых ячеек круговая окрестность поиска точек одинакова.

Тип радиуса - переменный. При использовании переменного радиуса поиска задается количество точек, участвующих в вычислении значения интерполируемой ячейки, поэтому радиус поиска для каждой ячейки индивидуален и зависит от того, как далеко от каждой ячейки набирается заданное число точек. Метод переменного радиуса позволяет создавать более точные поверхности, если плотность точек измерений различна в разных частях поверхности. Если вы знаете, что есть области, где точки измерений распределены редко, вы можете задать максимальное расстояние, которое не должен превышать поиск. Если радиус окрестности достигает максимального расстояние, не набрав заданного числа точек, вычисление значения этой ячейки будет выполнено на основе того количества точек, которое оказалось в пределах максимального радиуса.

Барьер: Набор данных линий или полигонов, используемый для установки границы поиска точек измерений. Линия может представлять обрыв, горный хребет или другой разрыве ландшафте. При вычислении значений ячеек будут учитываться только те точки, которые расположены по ту же сторону барьера, что и ячейка.

Сплайн рассчитывает значения ячеек на основе математической функции, минимизирующей кривизну поверхности, в результате получается сглаженная поверхность, точно проходящая через все точки измерений. Идея аналогична растягиванию резиновой пленки, так чтобы она проходила через все точки, при минимизации кривизны поверхности. Этот метод наиболее удобен для медленно меняющихся поверхностей, таких, как высота земной поверхности, уровень грунтовых вод или концентрация вредных веществ.

Методы сплайна. Существует два метода сплайна: регуляризация и натяжение.

Регуляризация. Метод регуляризации создает гладкую, постепенно меняющуюся поверхность, значения в которой могут выходить за пределы диапазона значений замеров. Натяжение. Метод натяжения меняет жесткость поверхности в зависимости от характера моделируемого явления. Он создает менее гладкую поверхность, значения в которой ближе к рамкам диапазонов значений замеров.

Дополнительные параметры

Вес. Для метода Регуляризации “вес” определяет вес третьей производной от поверхности в выражении минимизации кривизны.

Чем больше вес, тем более гладкой будет поверхность. Значения, заданные для этого параметра, должны быть больше или равны нулю, например: 0,.001,.01,.1 и.5.

Для метода Натяжения “вес” определяет вес натяжения. Чем больше вес, тем грубее поверхность. Значения должны быть больше или равны нулю, например: 0, 1, 5, и 10.

Число точек. Параметр “Число точек” определяет количество точек, на котором должны быть основаны вычисления. Чем больше точек вы зададите, тем большее влияние будут иметь удаленные точки, и тем более гладкой будет поверхность.

Метод Тренд подбирает математическую функцию- полином заданного порядка- ко всем исходным точкам. Он опирается на регрессию наименьших квадратов и создает поверхности с наименьшим отклонением от исходных значений. Метод наименьших квадратов отыскивает такие значения коэффициентов полинома (в одномерном случае - коэффициенты a_i), чтобы суммарная разница между фактическими значениями и вычисленными значениями (дисперсия) была минимальной: Σ (Ž _i-z_i) ² → min, где Ž i - рассчитанное (оценочное) значение параметра z, Z i - наблюденное значение параметра z.

Тренд описывает наиболее общее черты поверхности, или общую тенденцию в поведении изучаемой величины z. Полученная поверхность редко проходит через входные точки. Поверхность тренда 1-го порядка является плоскостью, характеризующий общий наклон поверхности, полиномы 2 и 3 порядка описывают более сложное поведение тренда.

В ArcGIS Метод Тренда доступен через ArcToolbox.

 

31.Метод интерполяции:Кригинг.

Метод Кригинг основан на статистических моделях, включающих автокорреляцию (статистические зависимости между измеренными точками). Такая технология позволяет не только получить расчетную поверхность, но также определить значение точности или достоверности расчета. Кригинг обрабатывает поверхности, считая их образованными из трех независимых величин. Первая, называемая дрейфом или структурой поверхности, представляет поверхность как общий тренд в определенном направлении. Далее, кригинг предполагает, что имеются небольшие отклонения от этой общей тенденции, вроде маленьких пиков и впадин, которые являются случайными, но все же связанными друг с другом пространственно (мы говорим, что они пространственно коррелированны). Наконец, мы имеем случайный шум (random noise), который не связан с общей тенденцией и не имеет пространственной автокорреляции. Кларк [Clarke, 1990] удачно иллюстрирует этот набор значений посредством аналогии: когда мы идем вверх по горе, рельеф местности изменяется в восходящем направлении между отправной точкой и вершиной; это - дрейф. По пути мы встречаем локальные снижения и повышения, сопровождаемые случайными, но все же коррелированными высотами, которые присущи этой поверхности. Также по пути нам встречаются камни, которые приходится переступать, их можно представлять как шум значения высоты, так как они не связаны непосредственно с основной поверхностной структурой, прежде всего создающей изменения высоты.

С каждой из трех переменных надо оперировать в отдельности. Дрейф оценивается с использованием математического уравнения, которое наиболее близко представляет общее изменение поверхности, подобно поверхности тренда. Локальное поведение поверхности и уровень шумов оценивается с использованием вариограммы (variogram, semivariogram). Вариограмма представляет собой график, на котором по горизонтальной оси откладывается расстояние между отсчетами, вертикальная ось несет так называемую полудисперсию (semivariance), которая определяется как половина дисперсии между каждым значением высоты и его соседями. Полудисперсия (расстояние h) = 0.5 * среднее[ (значение в точке i – значение в точке j)²] для всех пар точек, разделенных расстоянием h.

Кригинг похож на ОВР в том, что он учитывает вес окружающих измеренных значений для того, чтобы определить расчетное значение для ячейки, в которой не было данных. Общая формула для обеих интерполяций представляет собой суммирование данных с учетом веса: где Z (s i) - измеренное значение в ячейке i;

λ i - неизвестный вес измеренного значения ячейки i;

s ₀ - расположение ячейки, для которой вычисляется прогноз;

N- число измеренных значений.

В ОВР вес, λ i , зависит только от расстояния от оцениваемой ячейки.

Как и интерполяция с ОВР, Кригинг определяет вес окружающих измеренных точек, чтобы вычислить предполагаемое значение в неизмеренной ячейке. Как и в ОВР, точки, расположенные ближе к оцениваемой ячейке, имеют большее влияние. Однако, присвоение веса окружающим точкам в методе Кригинга более сложно, чем в ОВР. Так, в обычном кригинге вес, λ i  зависит от модели вариограммы, расстояния до оцениваемой точки и пространственного распределения точек замеров вокруг оцениваемой точки.

При выполнении интерполяции очень важно правильно задать радиус поиска, или радиус интерполяции, который определяет число и конфигурацию точек замеров участвующих в формировании значения оцениваемой ячейки. При выборе радиуса интерполяции мы может ориентироваться на предельный радиус корреляции и тем самым исключить точки с незначительным влиянием. Влияние удаленных точек не только мало, оно может быть даже негативным, если эти точки расположены на участке, характеристики которого сильно отличаются от участка, на котором находится оцениваемая ячейка. Другая причина для установки радиуса поиска- скорость вычислений.

Также как и в ОВР радиус поиска может быть фиксированным и переменным.