Специальные классы линий и поверхностей

Линии на плоскости

Астроида (рис. 7.2)

(см. также гипоциклоиду модуля m = 1/4).

Уравнение в декартовых координатах:

Параметрические уравнения:

Площадь, ограниченная астроидой:

Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):

Длина всей астроиды: s = 6R.

Радиус кривизны в произвольной точке:

Гипоциклоида (рис. 7.3)

 

Гипоциклоида - линия, описываемая точкой окружности радиуса r, катящейся без скольжения по другой окружности радиуса R внутри нее (m = r/R - модуль гипоциклоиды)

Параметрические уравнения:

где mR = r.

Частные случаи см. на рис. 7.4.

Длина дуги от точки A до произвольной точки M(t):

Длина одной ветви гипоциклоиды:

Площадь сектора, ограниченного одной ветвью линии:

Радиус кривизны в произвольной точке:

Декартов лист (рис. 7.5)

 

Декартов лист - линия, заданная уравнением

Параметрические уравнения:

Полярное уравнение:

Асимптота: y = - x - a.

Площадь, ограниченная петлей декартова листа:

Кардиоида (рис. 7.6)

(см. также эпициклоиду с модулем m = 1)

 

Уравнение в декартовых координатах:

Параметрические уравнения:

Полярное уравнение (с полюсом в точке A):

Длина дуги от точки A до произвольной точки M:

Длина всей кардиоиды: s = 16r.

Площадь, ограниченная кардиоидой:

Радиус кривизны в произвольной точке:

Конхоида Никомеда (рис. 7.7)

 

 

Конхоида Никомеда - линия, полученная при увеличении или уменьшении каждого радиуса-вектора точек данной прямой y = a на одну и ту же величину l, т. е.

Уравнение в декартовых координатах:

Полярное уравнение:

Асимптота: y = a.

Лемниската Бернулли (рис. 7.8)

(см. овалы Кассини при a = c).

Уравнение в декартовых координатах:

Полярное уравнение:

Длина дуги лемнискаты между точками, для которых и

(эллиптический интервал первого рода).

Площадь сектора между осью и радиусом-вектором, соответствующим углу

Площадь, ограниченная лемнискатой:

Радиус кривизны:

Локон (верзиера) Аньези (рис. 7.9)

 

Пусть имеется круг диаметром | OC | = a. Локон Аньези - множество точек M, для каждой из которых OB: BD = OC: BM.

Уранение в декартовых координатах:

Асимптота: y = 0.

Площадь между верзиерой и ее асимптотой:

Овалы Кассини (рис. 7.10)

 

Овалы Кассини - множество точек плоскости, произведение расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) постоянно.

Уранение в декартовых координатах:

где - фокусы;

При линия выпуклая, при имеет вид овала с двумя утолщениями, при a = c - лемниската Бернулли, при с > a состоит из двух замкнутых линий.

Розы

 

Уравнение, название	График
техлепестковая роза
четырехлепестковая роза

Общие свойства

 

1. Если k - нечетное число, роза состоит из k лепестков.

2. Если k - четное число, роза состоит из 2k лепестков.

3. Если k = m/n, n > 1, - рациональное число, роза состоит из m лепестков при m и n нечетных и из 2m лепестков, если одно из этих чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично покрывает предыдущий).

4. Если k - иррациональное число, роза состоит из бесчисленного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Спирали

 

Уравнение, название	График
спираль Архимеда
спираль Галилея
спираль гиперболическая
спираль "жезл"
спираль Корню (клофоида)
спираль логарифмическая
спираль параболическая
спираль Ферми

Дополнительные сведения о некоторых спиралях

Гиперболическая спираль

 

Асимптота: y = a.

Площадь сектора, ограниченного дугой гиперболической спирали и двумя радиусами-векторами и с углами и :

Длина дуги между точками и

Логарифмическая спираль

 

Длина дуги между точками и

Радиус кривизны:

Спираль Архимеда

 

Длина дуги между точками и

Площадь сектора, ограниченного дугой спирали Архимеда и двумя радиусами-векторами и , соответствующими углам и :

Площадь, ограниченная полярной осью и n -м витком спирали:

Строфоида (рис. 7.11)

 

Даны точка О и прямая, находящаяся от точки О на расстоянии ОА = а. Вокруг точки О вращается луч, пересекающий прямую в переменной точке В. Строфоида - множество точек М_i, i = 1, 2, таких, что BМ₁ = BМ₂ = AB.

Уравнение в декартовых координатах:

Уравнение в полярных координатах:

Параметрические уравнения:

Площадь, ограниченная петлей строфоиды:

Трактриса (рис. 7.12)

 

Трактриса - линия, у которой длина касательной является постоянной величиной a.

Уравнение в декартовых координатах:

Параметрические уравнения:

Длина дуги, отсчитываемая от точки A(0; a) до произвольной точки:

Площадь, ограниченная трактрисой и ее асимптотой:

Радиус кривизны:

Улитка Паскаля (рис. 7.13)

 

На произвольном луче OA от точки A пересечения его с окружностью по обе стороны откладываются отрезки Улитка Паскаля - множество точек М_i.

Уравнение в декартовых координатах:

Уравнение в полярных координатах:

Площадь, ограниченная улиткой (для случая l > 2a):

При l = 2a получается кардиоида.

Цепная линия (рис. 7.14)

 

Цепная линия - линия, форму которой принимает гибкая однородная, нерастяжимая тяжелая нить с закрепленными концами.

Уравнение в декартовых координатах:

Длина дуги от вершины до произвольной точки M (x; y):

Площадь, ограниченная цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс:

Радиус кривизны:

Циклоиды (рис. 7.15)

 

Циклоида - линия, которую описывает точка M, расположенная на расстоянии d от центра круга радиуса a, катящегося без скольжения по прямой. Если d = a, циклоида называется обыкновенной, d > a, - удлиненной, d < a, - укороченной.

Обыкновенная циклоида

 

Параметрические уравнения:

Уравнение в декартовых координатах:

Длина дуги циклоиды от исходной точки (t = 0) до произвольной точки M (t):

Длина одной арки циклоиды: s = 8a.

Площадь, ограниченная одной аркой циклоиды и ее базисом:

Радиус кривизны в произвольной точке: