Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласию Колмогорова

Обработка результатов измерений.

В данной работе нами было получена выборка из 100 измерений (таблица 1).

Талица 1 Исходная выборка

18,634	19,295	18,386	19,131	19,091
18,292	17,694	16,983	19,285	17,862
18,141	17,695	19,008	17,62	17,449
18,348	18,88	18,548	17,594	19,111
17,617	19,536	19,388	18,349	17,356
17,93	18,768	18,427	16,571	17,979
17,036	17,433	18,304	17,962	17,004
17,441	16,509	16,98	17,799	18,387
15,943	17,441	18,877	18,762	19,441
17,834	17,763	17,467	19,531	18,687
18,104	17,252	17,222	18,855	16,49
18,712	18,729	17,958	17,806	18,666
16,776	18,23	18,016	19,847	16,745
19,536	17,749	19,625	18,815	18,75
17,905	17,829	19,857	17,883	19,904
17,148	18,531	19,273	18,963	17,795
15,86	17,347	20,29	17,66	17,199
17,725	17,761	17,238	16,783	17,724
18,048	17,285	18,16	18,524	17,337
17,012	18,353	19,848	17,09	18,364

 

Для работы с полученными данными необходимо построить вариационный рад (упорядочить выборку). (Таблица 2)

 

 

Талица 2 Упорядоченная выборка

15,86	17,337	17,799	18,349	18,88
15,943	17,347	17,806	18,353	18,963
16,49	17,356	17,829	18,364	19,008
16,509	17,433	17,834	18,386	19,091
16,571	17,441	17,862	18,387	19,111
16,745	17,441	17,883	18,427	19,131
16,776	17,449	17,905	18,524	19,273
16,783	17,467	17,93	18,531	19,285
16,98	17,594	17,958	18,548	19,295
16,983	17,617	17,962	18,634	19,388
17,004	17,62	17,979	18,666	19,441
17,012	17,66	18,016	18,687	19,531
17,036	17,694	18,048	18,712	19,536
17,09	17,695	18,104	18,729	19,536
17,148	17,724	18,141	18,75	19,625
17,199	17,725	18,16	18,762	19,847
17,222	17,749	18,23	18,768	19,848
17,238	17,761	18,292	18,815	19,857
17,252	17,763	18,304	18,855	19,904
17,285	17,795	18,348	18,877	20,29

 

Найдем широту распределения:

R = X_MAX - X_MIN = 20,29 – 15,86 = 4,43

Определим возможное число разрядов

q_min= 0,55n^0.4 3,47

q_max= 1,25n^0.4 7,89

Определим число разрядов, равное 7.

Определим ширину разряда:

ΔX = R/q=0,6328

Рассчитаем среднее арифметическое значение измеряемой величины по формуле = 18,0587 18,06

Рассчитаем границы интервалов, середины интервалов, отклонения и их квадраты, произведение отклонения от среднего на частоту и занесем в таблицу 3

 

 

Таблица 3 Обработка измерений

Номер разряда j	Границы разряда	Середины разрядов Xjc	Частота nj	Xjc nj	(Xjc- )	(Xjc- )2	(Xjc- )2 nj
Xj	Xj+1
	15,86	16,49	16,175		48,525	-1,885	3,553	10,659
	16,49	17,12	16,805		201,66	-1,255	1,575	18,9
	17,12	17,75	17,435		453,31	-0,625	0,391	10,166
	17,75	18,38	18,065		361,3	0,005	0,000025	0,0005
	18,38	19,01	18,695		448,68	0,635	0,403	9,672
	19,01	19,64	19,325		212,575	1,265	1,6	17,6
	19,64	20,27	19,955		79,82	1,895	3,591	14,364
∑	-	-	-		1805,87			81,3615

 

Вычислим дисперсию:

D = = 0,8218

Вычислили среднее квадратичное отклонение:

σ = = 0,9065

Вычислим СКО среднего арифметического:

= = 0,09065

 

Построение статистических графиков.

 

Построим гистограмму и полином (рис.1)

Рис.1 Гистограмма и полином

 

 

Построим кумулятивную прямую (рис.2)

 

 

 

Рис.2 Кумулятивная прямая

 

 

Оценка грубых погрешностей эксперимента.

Метод Ирвина

Среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение было рассчитано в первой части работы

= 18,06

σ= 0,9065

Выберем 2 наибольшие величины 20,29 и 19,904

Вычислим величину λ_и

λ_и = = 0,4258

 

λ_и λ_0,95 следовательно результат является случайным и его отбрасывать нельзя.

Выберем 2 наименьшие величины 15,86 и 15,943

Вычислим величину λ_и

λ_и = = 0,0916

λ_и λ_0,95 следовательно результат является случайным и его отбрасывать нельзя.

Проверка гипотезы о принятом законе распределения.

Среднее арифметическое и среднее квадратичное отклонение было рассчитано в первой части работы

= 18,06, σ = 0,9065

Найдем нормированные середины t_j, значение функции плотности вероятностей p(t_j), затем найдем вероятность физической величены теоретической функции распределения p(X_j) и определим ту часть n_jнаблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов и вычислим интегральный критерий Пирсона, за основу возьмем первую часть работы занесем результаты в таблицу 4.

 

Таблица 4 Обработка измерений

Номер разряда j	Середины разрядов Xjc	Частота nj	(Xjc- )	Нормирован-ные середины tj	p(tj)	p(Xj)	npj
	16,175		-1,885	-2,0794	0,0459	0,0506	0,095	-
	16,805		-1,255	-1,3844	0,1539	0,1697	1,2886	137,577
	17,435		-0,625	-0,6894	0,3144	0,3468	5,7058	72,181
	18,065		0,005	0,0055	0,3989	0,44	5,5686	37,399
	18,695		0,635	0,7004	0,3123	0,3445	5,2319	67,325
	19,325		1,265	1,3954	0,1497	0,1651	1,1492	146,127
	19,955		1,895	2,0904	0,0449	0,0495	0,1252	-
∑	-		-	-	-	-	-	460,609

k = q – l – r –m = 7 – 1 – 2 –2 = 2

При k = 3 и уровне значимости α = 0,1 находим граничные значения критерия (k = 3; = 0,05) = 0,103 и (k = 3; = 0,95) = 5,991

Так как , то гипотеза о нормальном распределении принимается.

Проверка гипотезы о принадлежности выборки к генеральной совокупности по критерию согласию Колмогорова.

Значение среднего арифметического, среднего квадратичного отклонение, ширины распределения и ширины разряда были рассчитаны в первой части работы

= 18,06

σ = 0,9065

R = 4,43

ΔX 0,6328

Вычислим эмпирические частности P_k =n_j/n и определим теоретические функции распределения. Результаты занесем в таблицу 5

 

Таблица 5 Обработка измерений

№ j	Правая граница разрядов Xj+1	Частота nj	Эмпирические частоты Pk	Знач. накоплн. частей эмп. функции распред. (Xj+1)	Арг. Функции Zj+1	Знач. Функции Ф(Zj+1)	Знач. теорет. функции распред. F(Xj+1)	Абсол. величина разности Hj
	16,49		0,03	0,03	-1,7319	-0,4582	0,0418	0,0118
	17,12		0,12	0,15	-1,0369	-0,3508	0,1492	0,0008
	17,75		0,26	0,41	-0,3419	-0,1331	0,3669	0,0431
	18,38		0,20	0,61	0,353	0,1368	0,6368	0,0268
	19,01		0,24	0,85	1,0479	0,3531	0,8531	0,0031
	19,64		0,11	0,96	1,7429	0,4591	0,9591	0,0009
	20,27		0,04		2,4379	0,4927	0,9927	0,0073

 

Из расчетов видно, что H = 0,0431, Вычислим значение λ:

λ = H = 0,431

По заданному уровню значимости α = 0,1определяем значение λ_α = 1,22

Поскольку λ λ_α (0,431 1,22), то выдвинутая гипотеза принимается.