Непрерывность ф-ий на интервале и на отрезке. Установим связь между ББ и БМ последовательностями

Установим связь между ББ и БМ последовательностями

Теорема: Если {x_n}-ББ и все ее члены отличны от нуля, то последоват {1/x_n}-БМ и обратно. Если {x_n}-БМ и все ее члены отличны от нуля, то последоват {1/x_n}-ББ.

Док-во: Пусть {x_n}-ББ. Возьмем е(эпсилон)>0 и пусть М=1/е. По определению ББ последовательности для этого числа М существует такой такой номер N такой, что для всех элементов с номером n>N вып неравенство |x_n|>M. Тогда

 

А это означает согласно о-ию БМ послед что {1/x_n}-БМ

Вопрос№8 Определение ф-ии.

Числовую величину х назовем переменной величиной если она может принимать различные значения. Обозначим множество значений переменной х через Х (х Х) Х R.

Пусть также сущ-ет множество У, которое является подмножеством множества R (У R)

О: Если каждому элементу х из множества Х по некоторому правилу сопоставлен единственный элемент у из множества У, то говорят на множестве Х задана ф-ия у=f(x)

Таким образом, ф-ия определена если задано:

1.Множество х-область определения ф-ии

2.Множество у-множество значений ф-ии

3.Правило сопоставления элемента у элементам х

Переменная х наз независимой переменной или аргументом.

Переменная у наз зависимой от х-переменной или функцией.

Способы задания ф-ии:

1)Табличный. Ф-ия задаеся таблицей значений аргумента и соответствующих им значений функции

2)Графический. Задается график ф-ии значения ф-ии у соответствующие значению х находятся непосредственно из графика. Преимущество: наглядность. Недостаток: неточность

3)Аналитический: Задается в виде одной или нескольких формул или у-ий

 

 

Аналитический способ является наиболее совершенным для задания ф-ии, т.к. к нему приложены методы мат.анализа, позволяющие полностью исследовать ф-ию.

Свойства ф-ий: (убывающие и возрастающие-строго монотонные)

1.Монотонность. Пусть у=f(x) определена на множетсве Д и пусть множество Д₁-подмножество множества Д (Д₁ Д)

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)<f(x₂), то у=f(x) наз строго возрастающей на множестве Д₁

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)<=f(x₂), то у=f(x) наз возрастающей на множестве Д₁

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)>f(x₂), то у=f(x) наз строго убывающей множестве Д₁

О:Если для любых таких, что x₁<x₂ выполн f(x₁)>=f(x₂), то у=f(x) наз убывающей множестве Д₁

Интервалы, на которых ф-ия монотона наз интервалами монотонности.

Ограниченность

О: Ф-ию у=f(x), определенную на мн Д наз ограниченной на этом множестве, если сущ-ет такое число М>0, что для всех х Д вып неравенство |f(x)|<=M

 

Отсюда следует, что график ограниченной ф-ии лежит между у=М и у=-М

Четность.

О: Ф-ия у=f(x) опред на множестве Д наз четной, если для любых х из множества Д –х тоже принадлежит мн Д и вып условие т.е. f(-x)=f(x)

О: Ф-ия у=f(x) опред на множестве Д наз нечетной, если для любых х из множества Д –х тоже принадлежит мн Д и вып условие f(-x)=-f(x)

Обратная ф-ия: Пусть задана ф-ия у=f(x) с областью определения Д и множеством значений Е.

 

 

Если каждому у из множества Е соответствует единственный х из множества Д, то говорят определена х=Ф(у). Такая ф-ия наз обратной у=f(x) и записывают х=Ф(у)=f^-1(y).

Про ф-ии х=Ф(у) у=f(x) говорят, что они являются взаимообратными

Чтобы найти х=Ф(у) обратную у=f(x) достаточно решить относительно х у-ие у=f(x) (выразить х)

Из определения обратной ф-ии следует, что у=f(x) имеет обратную тогда и только тогда, когда f(x) задает взаимооднозначное соответствие между мн Д и Е.

Отсюда следует, что любая строгомонотонная ф-ия имеет обратную, при этом если ф-ия возрастает, то и обратная ф-ия также возрастает, если ф-ия убывает, то и обратная ф-ия также убывает

Замети, что у=f(x) и обратная ей х=Ф(у) изображаются одной и той же кривой (графики совпадают). Если же условится, что как обычно независимую переменную, т.е. аргумент будем обозначать через х, а зависимую через у, то ф-ия обратная к ф-ии у=f(x) запишется в виде х=Ф(у).

у=f(x) х=Ф(у). При этом т.М₁(х₀;у₀) у=f(x) будет соответствовать т.М₂(х₀;у₀) х=Ф(у)

 

 

Точки М₁ и М₂ симметричны относительно прямой у=х.

Таким образом, графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно биссектрисы 1 и з координатных углов.

Сложная ф-ия: Пусть y=f(u) опр на Д; u=Ф(х) опр на Д₁

Причем u=Ф(х) Д, тогда на мн Д₁ определена ф-ия y=f(Ф(x)), которая называется сложной ф-ией/ суперпозицией данной ф-ии/ функцией от ф-ии.

При этом переменную u=Ф(х) наз промежуточным аргументом сложной ф-ии. Сложная ф-ия может иметь несколько промежуточных аргументов.

Вопрос№9 Определение предела ф-ии на языке

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности в т.х₀, кроме может быть самой т.х₀

1.(О конечного предела в конечной точке): Число А наз пределом ф-ии f(x) в т. x=x₀, если для любого е(эпсилон)>0 найдется такое число д(дельта)>0 такое, что для всех х=(no)x₀, удовлетворяющее неравенству |x-x₀|<д выполняется |f(x)-A|<e

 

 

2.(О конечного предела на бесконечности): Число А наз пределом ф-ии f(x) при х стремящемуся к бесконечности, если для любого е(эпсилон)>0 найдется такое число д(дельта)>0 такое, что для всех х, удовлетв неравенств |x|<д вып условие |f(x)-A|<e

 

Если

 

3.(О бесконечного предела в конечной точке): предел ф-ии y=f(x) равен бесконечности в т.х-х_0, если

 

 

4.(Бесконечный предел на бесконечности): Предел ф-ии y=f(x) равен бесконечности при х стремящемуся к бесконечности, если

 

Вопрос№10 БМФ. Свойства БМФ

Ф-ия y=f(x) наз БМ при х x₀, если

 

 

Свойства о БМ (теоремы):

1.Алгебраическая сумма конечного числа БМФ есть БМФ

 

 

2.Произведение ограниченной ф-ии на БМФ есть БМФ

 

3.Произведение 2ух БМ есть БМ

4.Произведение БМФ на число есть БМФ

 

 

5.Если Z(x)-БМФ, то 1/Z(x) –ББФ и наоборот.

6.Если ф-ия f(x) имеет предел=А, то ее можно представить в виде

 

7.Если ф-ию f(x) можно представить в виде,то f(x) имеет предел=А.

Вопрос№11 Теорема о связи ф-ии и предела

Теорема1: Если ф-ия f(x) имеет предел=А, то ее можно представить как сумму числа А и БМФ а(х), т.е. если

 

Док-во:

 

 

Это означает, что ф-ия f(x)-А имеет предел=0, т.е. является БМФ, которую обозначим через а(х): f(x)-A=a(x). Отсюда f(x)=A+a(x).

Теорема(обратная1): Если ф-ию f(x) можно представить в виде суммы числа А и БМФ а(х), то число А является пределом ф-ии f(x), т.е. если f(x)=A+a(x), то

Док-во:

 

Вопрос№12 Определения ББФ

О: Ф-ия f(x) наз ББ при x x₀, если

О: Ф-ия f(x) наз ББ при x, если

 

 

Вопрос№13 Свойства пределов ф-ии

В силу того, что о-ие предела может быть сформулировано на языке последовательности е, то теоремы о пределах последовательности, а также свойства пределов последовательностей могут быть аналогично сформулированы и для ф-ий и не требуют доп. Доказательств.

Т1: Предел суммы (разности) 2ух ф-ий = сумме (разности) их пределов

 

 

Т2: Ф-ия может иметь только один предел. Теорема о единственности предела

Предел произведения 2ух ф-ий = произведению пределов этих ф-ий

 

Т3: Постонный множитель можно выносить за знак предела

 

Т4: Предел частного 2ух ф-ий = частному пределов этих ф-ий если предел знаменателя отличен от нуля

 

 

Т5: Предел степени с натуральным показателем = той же степени предела

 

 

Вопрос№14 Теорема о предельном переходе в неравенстве

Т: Если предел

 

 

Док-во (от противного): Пусть выполнены все условия теоремы, но А>В. По о-ию предела следует

 

 

Вопрос№15 Теорема о сжатой переменной

 

Вопрос№16 Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.

О: Пусть ф-ия определена в т.х₀ и в некоторой окрестности т.х_0. Ф-ия f(x) наз непрерывной в т.х₀, если существует предел в этой точке и он равен значению ф-ии в этой точке.

Необходимые условия:

1.f(x) определена в т.х₀ и ее окрестности

2.Сущ-ет

3.

 

Для непрерывной ф-ии можно переставить знак ф-ии и знак предела

Приведем еще одно о-ие непрерывности ф-ии в точке. Пусть ф-ия определена в некоторой окрестности т.х₀. Рассмотрим произвольное х из этой окрестности.

х=х-х₀ наз приращением аргумента

Пусть y=f(x) и y₀=f(x₀). Тогда у=у-у₀=f(x)-f(x₀) наз приращением ф-ии

 

О: Ф-ия y=f(x) наз непрерывной в т.х₀, если БМ приращению аргумента соответствует БМ приращение ф-ии. Т.е.

Докажем эквивалентность этих о-ий. Пусть y=f(x) непрерывна в т.х₀, тогда согласно первому о-ию выполняется равенство

 

Непрерывность ф-ий на интервале и на отрезке

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на интервале (а;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

О: Ф-ия f(x) наз непрерывной на отрезке [a;b], если:

1.Она непрерывна в каждой точке интервала (а;b)

2.В точке х=а непрерывна справа

3.В точке х=b непрерывна слева