Дослідження коливних процесів у нелінійній САР методом гармонічного балансу

МІНIСТЕРСТВО ОСВIТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “Львiвська полiтехнiка”

 

Звіт до лабораторної роботи №4

На тему:

ДОСЛІДЖЕННЯ КОЛИВНИХ ПРОЦЕСІВ У НЕЛІНІЙНІЙ САР МЕТОДОМ ГАРМОНІЧНОГО БАЛАНСУ

з дисципліни “Теорія автоматичного керування”, ч.2

 

Виконав:

Ст. гр. АВ-31

Теплий Олександр

Прийняла:

Парнета О.З.

 

 

Львів – 2016

 

Завдання. Система автоматичного регулювання складаєтьсяз об'єкта регулювання з функцією передачі , виконавчого механізму з функцією передачі , заслінки з функцією передачі та реального двопозиційного реле (m=0.1, c=1). За допомогою методу гармонічного балансу визначити параметри автоколивань в системі. Дослідити, як зміняться значення параметрів коливань, якщо зменшити m=0.05 і збільшити c=2.

Згідно із методом гармонічного балансу знаходимо обернену амплітудно-фазову характеристику з оберненим знаком реального двопозиційного реле за формулою (4), підставляючи в неї коефіцієнти гармонічної лінеаризації

,

За допомогою функцій Matlab real та imag знайдемо дійсну та уявну частини характеристики реле.

Функцію передачі лінійної частини системи, що є послідовним з’єднанням функцій передачі ВМ, РО і ОР, знаходимо у вигляді їх добутку

.

Маючи , знаходимо амплітудно-фазову характеристику лінійної частини, її дійсну та уявну частини.

За отриманими значеннями побудуємо графіки характеристик і в комплексній площині

Рис. 5. Амплітудно-фазова характеристика лінійної частини та обернена амплітудно-фазова характеристика з оберненим знаком реального двопозиційного реле.

З рис. 5 видно, що АФХ лінійної частини зосереджена в третьому квадранті комплексної площини і там же розміщена характеристика реального двопозиційного реле, яка при зростанні амплітуди від m до утворює горизонтальну пряму лінію з ординатою та дійсною частиною (абсцисою), що змінюється від 0 до . Ці характеристики перетинаються і це означає, що в досліджуваній САР виникатимуть коливання з постійною амплітудою. Оскільки при збільшенні амплітуди порівняно із точкою перетину, АФХ лінійної частини не охоплює , то коливання в системі є стійкими.

Графік, показаний на рис. 5, а також значення параметрів автоколивань (амплітуди і частоти ) знайдені за допомогою програми, складеної в середовищі Matlab

clc

clear

m=0.1;c=1;

a=[0.10001:0.0001:0.5];

la=length(a);

qa=4*c/pi./a.*(1-(m./a).^2).^0.5;

q1a=-4*c*m./a.^2/pi;

Wne=qa+i*q1a;

Za=-1./Wne;

UZ=real(Za); VZ=imag(Za);

% VZ=-pi*m/4/c,

VZ=VZ(1),

% UZ=-pi/4/c*(a.^2-m^2).^(0.5);

T1=25;T2=32;

w=[0.05:0.00001:0.4];

lw=length(w);

p=i*w;

W=1./p./(T1*p+1)/T2;

U=real(W);

V=imag(W);

d=abs((V-VZ)/VZ)*100;

 

[dm j]=min(d),

Va=V(j),

Ua=U(j),

wa=w(j),

Ta=2*pi/wa,

dn=abs(UZ-Ua);

[dnm s]=min(dn);

 

aa=((Ua*4*c/pi)^2+m^2)^(0.5),

UZa=UZ(s),

%UZa=-pi/4/c*(aa^2-m^2)^(0.5),

figure(1)

plot(U,V,'k',UZ,VZ,'k',Ua,Va,'ok'),grid

 

В програмі частоту автоколивань (ідентифікатор wa) визначають з умови збігу в точці перетину уявної частини VZ характеристики та уявної частини V частотної характеристики лінійної частини із допустимою зведеною похибкою dm. Амплітуду автоколивань (ідентифікатор aa) визначають з умови рівності в точці перетину дійсної частини Ua АФХ лінійної частини та дійсної частини UZa характеристики реле

,

звідки

.

В результаті виконання програми отримані такі значення

VZ = -0.0785; dm = 0.0092;Va =-0.0785; Ua = -0.1568;

wa = 0.0798;Ta = 78.6972; aa = 0.2232; UZa = -0.1567,

з яких бачимо, що в точці перетину характеристик лінійної частини та нелінійного елемента значення їх уявних частин з похибкою, яка не перевищує 0,01%, збігаються, що підтверджує правильність розрахунків.

Отже, в заданій системі параметри автоколивань мають такі значення:

- частота рад/с і відповідно період ;

- амплітуда .

Вирішимо поставлену задачу аналітично.

За формулою (4) знайдемо обернену амплітудно-фазову характеристику з оберненим знаком реального двопозиційного реле в аналітичному вигляді,

.

Отже, характеристика реального двопозиційного реле має вигляд

,

де – дійсна та уявна частини характеристики НЕ.

В аналітичному вигляді запишемо амплітудно-фазову характеристику лінійної частини, що є послідовним з’єднанням інтегруючої та аперіодичної ланок

,

де , – амплітудно-частотна та фазо-частотна характеристики лінійної частини.

Далі знайдемо частоту в точці перетину лінійної частини

та характеристики , прирівнюючи їх уявні частини.

В точці перетину виконується рівність

.

Значення знайдемо ітераційним способом. Задамося на першому кроці будь-яким значенням частоти та визначимо характеристики та лінійної частини і далі змінюємо частоту так, щоби значення на цій частоті дорівнювало 0.0785.

Таблиця 1.