V. Перевірка узгодженості експериментального розподілу з вибраною математичною моделю

I. Схема вимірювань та початкові дані.

1. Схема вимірювання

Генератор Г3-109

Частотомір Ч3-64/1

 

 

2. Початкові дані:

- Номінальне значення частоти: 900 Гц

- точність установки частоти: ±1,5%

- початковий статистичний ряд результатів вимірювань:

номер вимірювання	зн. Частоти	номер вимірювання	зн. Частоти
	897,702		897,371
	897,72		897,66
	897,884
	897,882
	897,658
	897,673
	897,563
	897,449
	897,699
	897,647
	897,665
	897,688
	897,635
	897,589
	897,539
	897,619
	897,698
	897,712
	897,514
	897,642
	897,638
	897,593
	897,709
	897,35
	897,806
	897,599
	897,713
	897,632
	897,522
	897,72
	897,796
	897,736
	897,665

II. Виявлення та відсіювання результатів вимірювань, які містять грубі похибки та промахи.

Для вирішення цієї задачі використовують спеціальні статистичні критерії.

В нашій роботі використовуємо в якості критерію правило «трьох сігм» (±3σ)

Виконуємо попередні обчислення. Результати заносимо в табл. 1.

 

Табл.1

номер вимірювання	зн. Частоти	Acер	аі-Асер
	897,702	897,647	0,055
	897,72	897,647	0,073
	897,884	897,647	0,237
	897,882	897,647	0,235
	897,658	897,647	0,011
	897,673	897,647	0,026
	897,563	897,647	-0,084
	897,449	897,647	-0,198
	897,699	897,647	0,052
	897,647	897,647
	897,665	897,647	0,018
	897,688	897,647	0,041
	897,635	897,647	-0,012
	897,589	897,647	-0,058
	897,539	897,647	-0,108
	897,619	897,647	-0,028
	897,698	897,647	0,051
	897,712	897,647	0,065
	897,514	897,647	-0,133
	897,642	897,647	-0,005
	897,638	897,647	-0,009
	897,593	897,647	-0,054
	897,709	897,647	0,062
	897,35	897,647	-0,297
	897,806	897,647	0,159
	897,599	897,647	-0,048
	897,713	897,647	0,066
	897,632	897,647	-0,015
	897,522	897,647	-0,125
	897,72	897,647	0,073
	897,796	897,647	0,149
	897,736	897,647	0,089
	897,665	897,647	0,018
	897,371	897,647	-0,276
	897,66	897,647	0,013

 

Обчислюємо

- Оцінку середнього значення

Асер=897,647 Гц

- Оцінку середньоквадратичного відхилення результатів вимірювань від середнього значення

S=0.117 Гц

- межі

нижня межа Асер-3S=897,295 Гц

верхня межа Асер+3S=897,998 Гц

Результати вимірювань представляєм у вигляді графіка (рис 1)

Рис.1

 

Висновок: Жоден результат не вийшов за межі 3S. Робимо висновок, що початковий статистичний ряд є однорідним статистичним рядом та приводим його основні статистичні характеристики:

- об‘єм вимірювання n=35

- оцінка середнього значення А_сер=897,647 Гц

- Оцінка середньоквадратичного відхилення результатів вимірювань від середнього значення S=0.117Гц

 

 

III. Побудова експериментального розподілу результатів вимірювань.

 

Експериментальний розподіл представляємо у вигляді гістограми

Порядок будови:

1. Однорідний статистичний ряд розміщуєм в порядку зростання

2. Обчислюєм розмах значень

R=a_max-a_min=897,884-897,35=0,634

3. Відрізок (a_max; a_min)розділяєм на k рівних інтервалів.

K=1+3,322lg(n) де n – об’єм вимірювання

K=1+5,129=6,129 округлюєм до цілого k=6

4. Розраховуєм ширину інтервалу

h=R/k=0,634/6=0.089

5. Обчислюєм границі кожного інтервалу – результат записуєм в табл.2

Табл.2

Номер інтервалу	Границі інтервалу	nj	Pj
	897,35 – 897,439		0,057
	897,439 – 897,528		0,086
	897,528 – 897,617		0,143
	897,617 – 897,706		0,429
	897,706 – 897,795		0,171
	897,795 – 897,884		0,114

6. Підраховуємо число результатів вимірювань, які попадають в кожен інтервал(табл.2).

7. Обчислюємо імовірності попадання результатів вимірювань в кожний інтервал(табл.2).

8. Будуємо гістограму.

 

 

IV.Вибір математичної моделі для опису експериментального розподілу.

 

При виборі математичної моделі враховують наступне:

· Виглядгістограми;

· В більшості випадків математична модель представляється функцією Гауса або нормальний закон розподілу(густина розподілу).

 

В якості математичної моделі вибираємо нормальний закон розподілу(НЗР).

 

 

Результати всіх обчислень табл.3

Номер ітерації j	nj	(j-1/2)*nj	[(j-1/2)-Xзв,сер ]2* nj	yj	F(yj)
			15.7922	-2,09701	0.017996
		4.5	9.8283	-1.35075	0.088388
		12.5	3.2805	-60448	0.272763
		52.5	0.5415	0.141791	0.556377
			8.4966	0.88806	0.812746
			19.1844	1.634328	0.948905

∑₃= 122,5 ∑₄=61,123

Обчислюємо:

- зважене середнє значення

=3.310

- Зважене середньоквадратичне відхилення

= 1,340

- Нормуючий параметр

Результати обчислень заносимо в табл.3.

 

V. Перевірка узгодженості експериментального розподілу з вибраною математичною моделю.

Для вирішення цієї задачі використовуєм спеціальні – критерії узгодженості. Ми будем використовувати критерій Пірсона - Х².

табл.4

Pj	nPj	nj-nPj	(nj-nPj)2	(nj-nPj)2/ nPj
0.0179	0,62986	1,37014	1,877284	2,980478
0.0704	2,463728	0,5362718	0,287587	0,116729
0.1844	6,453115	-1,453115	2,111543	0,327213
0.2836	9,926504	5,0734961	25,74036	2,593095
0.2564	8,972887	-2,972887	8,838059	0,984974
0.1361	4,765578	-0,765578	0,586109	0,122988

∑(11)=X²=7.125

Обчислюємо:

- Р_j– імовірність попадання результатів в jінтервалгістограми, обчислюємімовірність по математичніймоделі.

- nP_j – кількість попадання результатів вимірювань в j інтервал гістограми обчислена на математичній моделі.

Результати обрахунків заносимо в табл.4

Х² служить мірою розбіжності експериментального розподілу і вибраної математичної моделі.

Вибираєм довірчу імовірність: P_дов=0,95

Обчислюємо рівномірність значень:

p=1- P_дов=0,05

Обчислюєм число ступенів вільності:

f=k-s=6 - 3=3

За цими значеннями вибираємо із таблиці допустиме Х²_доп=7,8

В нашому випадку Х²<X²_доп, то нормальний закон розподілу описує експеримент.