Разложение определителя по строке или столбцу

 

Вычисление определителя -го порядка можно свести к вычислению определителей порядка , используя следующие формулы.

1. Разложение определителя по -й строке:

Это число, равное сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения.

2. Разложение определителя по -му столбцу:

Это число, равное сумме произведений элементов любого столбца на их алгебраические дополнения.

Пример 9. Вычислить определитель третьего порядка разложением по первой строке.

Решение

Независимо от способа разложения всегда получается один и тот же ответ.

Свойства определителей

1. При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется: . Вывод. Свойства определителей, сформулированных для строк, справедливы и для столбцов.

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Например, .

3. Определитель равен нулю, если:

а) он имеет нулевую строку (столбец) ;

б) он имеет пропорциональные (одинаковые) строки (столбец) .

4. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя. Например, .

5. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки прибавить (вычесть) соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число.

Например, .

6. Если в определителе каждый элемент какой-либо строки есть сумма двух слагаемых, то этот определитель равен сумме двух определителей:

.

7. Определитель произведения двух квадратных матриц одного и того же порядка равен произведению определителей этих матриц:

.

8. Определитель квадратной матрицы треугольного вида равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

.

 

Обратная матрица

 

Вместо операции деления матриц вводится понятие обратной матрицы.

§ Если при умножении квадратных матриц и в любом порядке получается единичная матрица (), то матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , а матрица - обратная для матрицы .

Обозначается обратная матрица , то есть .

Очевидна аналогия с числами: для числа 2 число ½ есть обратное, так как . Именно поэтому матрица, обратная к А, обозначается .

 

Теорема «Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы». Для того чтобы квадратная матрица имела обратную матрицу , необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы был не равен нулю.

Правило нахождения обратной матрицы

0) Смотрим, является ли матрица квадратной. Если нет, то обратной матрицы не существует; если квадратная, то переходим к пункту 1.

1) Вычисляем определитель матрицы : если он не равен нулю, то обратная матрица существует: ; если равен нулю, то обратной матрицы нет.

2) Для каждого элемента матрицы вычисляем его алгебраическое дополнение .

3) Составляем матрицу из алгебраических дополнений, которая затем транспонируем: .

4) Каждый элемент матрицы делим на определитель : Получаем матрицу, обратную данной.