Свойства определителя матрицы

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

4. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

5. Если все элементы строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых , то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме , - такие же, как в заданном определителе, а строка в одном из слагаемых состоит из элементов , в другом - из элементов .

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Миноры и алгебраические дополнения

Обозначим через матрицу, которая остается при вычеркивании из матрицы строки и столбца. Тогда называется минором элемента . Величина называется алгебраическим дополнением элемента .

Разложение определителя матрицы по элементам строки или столбца.

Теорема. Определитель каждой матрицы равен сумме произведений элементов любой ее строки (столбца) на их алгебраические дополнения. То есть, при разложении по элементам строки получим:

Для вычисления значений определителей матриц второго порядка пользуются формулой:

Для вычисления значений определителей матриц третьего порядка можно воспользоваться формулой разложения определителя по первой строке:

Пример 7. Не вычисляя определителя , показать, что он равен нулю.

Решение. Вычтем из второй строки первую, получим определитель

, равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель , в котором две строки пропорциональны. Такой определитель равен нулю.

Пример 8. Вычислить определитель , разложив его по элементам второго столбца.

Решение. Разложим определитель по элементам второго столбца:

Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу .

Если в этой матрице выделить произвольно строк и столбцов, то элементы, стоящие на пересечении выделенных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка. Определитель этой матрицы называется минором k-го порядка матрицы .

Очевидно, что матрица обладает минорами любого порядка от до наименьшего из чисел и . Некоторые среди них будут равны нулю. Среди всех отличных от нуля миноров матрицы найдется, по крайней мере, один минор, порядок которого будет наибольшим.

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Если ранг матрицы равен , то это означает, что в матрице имеется отличный от нуля минор порядка , но всякий минор порядка, большего чем , равен нулю. Ранг матрицы обозначается через . Очевидно, что выполняется соотношение

Ранг матрицы находится либо методом окаймления миноров, либо методом элементарных преобразований.

При вычислении ранга матрицы первым способом следует переходить от миноров низших порядков к минорам более высокого порядка. Если уже найден минор порядка матрицы , отличный от нуля, то требуют вычисления лишь миноры порядка, окаймляющие минор , т.е. содержащие его в качестве минора. Если все они равны нулю, то ранг матрицы равен .

Элементарным и называются следующие преобразования матрицы:

1) перестановка двух любых строк (или столбцов),

2) умножение строки (или столбца) на отличное от нуля число,

3) прибавление к одной строке (или столбцу) другой строки (или столбца), умноженной на некоторое число.

Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью конечного множества элементарных преобразований.

Эквивалентные матрицы не являются, вообще говоря, равными, но их ранги равны. Если матрицы и эквивалентны, то это записывается так: .

Канонической матрицей называется матрица, у которой в начале главной диагонали стоят подряд несколько единиц (число которых может равняться нулю), а все остальные элементы равны нулю, например,

.

При помощи элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу можно привести к канонической. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на ее главной диагонали.

Пример 11. Найти методом окаймления миноров ранг матрицы

Решение. Начинаем с миноров порядка, (т.е. с элементов матрицы ). Выберем, например, минор (элемент) , расположенный в первой строке и первом столбце. Окаймляя при помощи второй строки и третьего столбца, получаем минор , отличный от нуля. Переходим теперь к минорам порядка, окаймляющим . Их всего два (можно добавить второй столбец или четвертый). Вычисляем их:

, .

Таким образом, все окаймляющие миноры третьего порядка оказались равными нулю. Ранг матрицы равен двум.

Пример 12. Найти ранг матрицы

и привести ее к каноническому виду.

Решение. Из второй строки вычтем первую и переставим эти строки:

.

Теперь из второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на и :

;

из третьей строки вычтем вторую, при этом получим матрицу

,

которая эквивалентна матрице , так как получена из нее с помощью конечного множества элементарных преобразований. Очевидно, что ранг матрицы равен , а следовательно, и .

Матрицу легко привести к канонической.

Вычитая первый столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы первой строки, кроме первого, причем элементы остальных строк не изменяются.

Затем, вычитая второй столбец, умноженный на подходящие числа, из всех последующих, обратим в нуль все элементы второй строки, кроме второго, и получим каноническую матрицу:

.

Обратная матрица

Пусть дана квадратная матрица:

.

Обозначим .

Квадратная матрица называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если .

Квадратная матрица называется обратной для квадратной матрицы того же порядка, если их произведение , где - единичная матрица того же порядка, что и матрицы и .

Теорема. Для того чтобы матрица имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице , обозначается через , так что . Обратная матрица вычисляется по формуле

,

где - алгебраические дополнения элементов . Или

Таким образом, обратная матрица – это транспонированная матрица алгебраических дополнений, умноженная на коэффициент .

Вычисление обратной матрицы по этой формуле для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП).

Любую неособенную матрицу путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице .

Если совершенные над матрицей ЭП в том же порядке применить к единичной матрице , то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами и одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту.

Замечание. Отметим, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Пример 15. Для матрицы найти обратную ей матрицу.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы (для этого прибавляем ко второму столбцу первый, а от третьего отнимаем первый, деленный на два):

значит, обратная матрица существует, и мы ее можем найти по формуле:

,

где ‑ алгебраические дополнения элементов исходной матрицы.

, _,

_{, ,}

_{, ,}

_{, ,}

Откуда

.

Пример 16. Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы: .

Решение. Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка: . С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей.

1. Поменяем местами первый и второй столбцы:

.

2. К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму - первый, умноженный на :

.

3. Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего - умноженный на второй;

.

4. Прибавим третий столбец к первому и второму:

.

5. Умножим последний столбец на :

.

Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице . Итак,

.